O vetor campo elétrico de uma onda eletromagnética é dado por
. (a) Achar o campo magnético correspondente. (b) Calcular
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o vetor campo elétrico de uma onda eletromagnética e pede para a gente:
(a) Encontrar o campo magnético correspondente.
(b) Calcular o produto escalar
e o produto vetorial
.
Para resolver isso, precisamos saber sobre ondas eletromagnéticas, a relação entre os campos elétrico e magnético nessas ondas, e como calcular produtos escalares e vetoriais entre vetores. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, temos que entender o que é uma onda eletromagnética. Nessas ondas, os campos elétrico (
) e magnético (
) são perpendiculares entre si e também à direção de propagação da onda. Além disso, eles variam no espaço e no tempo de forma harmônica.
Dado o campo elétrico:
Aqui,
é a amplitude do campo elétrico,
é o número de onda,
é a frequência angular, e
e
são os vetores unitários nas direções x e z, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar o campo magnético correspondente
, usamos a relação entre os campos em uma onda eletromagnética no vácuo:
Onde
é a velocidade da luz e
é o vetor unitário na direção de propagação da onda.
Primeiro, identificamos a direção de propagação. Observando o argumento das funções trigonométricas (
), vemos que a onda está se propagando na direção y.
Então,
.
Passo 4
Agora, calculamos o produto vetorial
:
Sabemos que:
Substituindo:
Passo 5
Agora, aplicamos a relação para o campo magnético:
Passo 6
Agora, para a parte (b), vamos calcular o produto escalar
e o produto vetorial
.
Primeiro, o produto escalar:
Onde ,
,
, e
,
, .
Passo 7
Calculando:
Simplificando:
Então,
.
Passo 8
Agora, o produto vetorial
. Para isso, usamos a regra do determinante:
Substituindo os valores:
Passo 9
Calculando o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Resposta
(a) O campo magnético correspondente é:
(b) Os produtos são: