O vetor campo elétrico de uma onda eletromagnética é dado por . (a) Achar o campo magnético correspondente. (b) Calcular e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o vetor campo elétrico de uma onda eletromagnética e pede para a gente:
(a) Encontrar o campo magnético correspondente.
(b) Calcular o produto escalar e o produto vetorial .
Para resolver isso, precisamos saber sobre ondas eletromagnéticas, a relação entre os campos elétrico e magnético nessas ondas, e como calcular produtos escalares e vetoriais entre vetores. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, temos que entender o que é uma onda eletromagnética. Nessas ondas, os campos elétrico ( ) e magnético ( ) são perpendiculares entre si e também à direção de propagação da onda. Além disso, eles variam no espaço e no tempo de forma harmônica.
Dado o campo elétrico:
Aqui, é a amplitude do campo elétrico, é o número de onda, é a frequência angular, e e são os vetores unitários nas direções x e z, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar o campo magnético correspondente , usamos a relação entre os campos em uma onda eletromagnética no vácuo:
Onde é a velocidade da luz e é o vetor unitário na direção de propagação da onda.
Primeiro, identificamos a direção de propagação. Observando o argumento das funções trigonométricas ( ), vemos que a onda está se propagando na direção y.
Então, .

Passo 4

Agora, calculamos o produto vetorial :
Sabemos que:
Substituindo:

Passo 5

Agora, aplicamos a relação para o campo magnético:

Passo 6

Agora, para a parte (b), vamos calcular o produto escalar e o produto vetorial .
Primeiro, o produto escalar:
Onde , , , e , , .

Passo 7

Calculando:
Simplificando:
Então, .

Passo 8

Agora, o produto vetorial . Para isso, usamos a regra do determinante:
Substituindo os valores:

Passo 9

Calculando o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Resposta

(a) O campo magnético correspondente é:
(b) Os produtos são:

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