O vetor campo elétrico de uma onda eletromagnética é dado por E(y, t)=E0 sen(ky-varpi t) imath+E0 cos (ky-varpi t) k. (a) Achar o campo magnético correspondente. (b) Calcular E cdot B e E x B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o vetor campo elétrico de uma onda eletromagnética e pede para a gente:
(a) Encontrar o campo magnético correspondente.
(b) Calcular o produto escalar E cdot B e o produto vetorial E times B.
Para resolver isso, precisamos saber sobre ondas eletromagnéticas, a relação entre os campos elétrico e magnético nessas ondas, e como calcular produtos escalares e vetoriais entre vetores. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, temos que entender o que é uma onda eletromagnética. Nessas ondas, os campos elétrico ( E) e magnético ( B) são perpendiculares entre si e também à direção de propagação da onda. Além disso, eles variam no espaço e no tempo de forma harmônica.
Dado o campo elétrico:
Aqui, E(y, t) = E0 sen(ky - omega t) imath + E0 cos(ky - omega t) k é a amplitude do campo elétrico, E0 é o número de onda, k é a frequência angular, e omega e imath são os vetores unitários nas direções x e z, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar o campo magnético correspondente B, usamos a relação entre os campos em uma onda eletromagnética no vácuo:
B = 1c n times E
Onde c é a velocidade da luz e n é o vetor unitário na direção de propagação da onda.
Primeiro, identificamos a direção de propagação. Observando o argumento das funções trigonométricas ( ky - omega t), vemos que a onda está se propagando na direção y.
Então, n = jmath.

Passo 4

Agora, calculamos o produto vetorial n times E:
Sabemos que:
jmath times (E0 sen(ky - omega t) imath + E0 cos(ky - omega t) k) = E0 sen(ky - omega t) (jmath times imath) + E0 cos(ky - omega t) (jmath times k)
Substituindo:

Passo 5

Agora, aplicamos a relação para o campo magnético:

Passo 6

Agora, para a parte (b), vamos calcular o produto escalar E cdot B e o produto vetorial E times B.
Primeiro, o produto escalar:
E cdot B = Ex Bx + Ey By + Ez Bz
Onde , Ex = E0 sen(ky - omega t), Ey = 0, e Ez = E0 cos(ky - omega t), Bx = E0c cos(ky - omega t), .

Passo 7

Calculando:
Simplificando:
Então, E cdot B = E0 sen(ky - omega t) cdot E0c cos(ky - omega t) + 0 cdot 0 + E0 cos(ky - omega t) cdot (-E0c sen(ky - omega t)) .

Passo 8

Agora, o produto vetorial E times B. Para isso, usamos a regra do determinante:
E times B = imath & jmath & k Ex & Ey & Ez Bx & By & Bz
Substituindo os valores:

Passo 9

Calculando o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:
imath (0 cdot (-E0c sen(ky - omega t)) - E0 cos(ky - omega t) cdot 0 ) - jmath (E0 sen(ky - omega t) cdot (-E0c sen(ky - omega t)) - E0 cos(ky - omega t) cdot E0c cos(ky - omega t) ) + k (E0 sen(ky - omega t) cdot 0 - 0 cdot E0c cos(ky - omega t) )

Resposta

(a) O campo magnético correspondente é:
(b) Os produtos são:
B(y, t) = E0c cos(ky - omega t) imath - E0c sen(ky - omega t) k
E cdot B = 0

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