Um vetor v do espaço forma os vetores doti e j angulos de 60^circ e 120^circ, respectivamente. Determinar o vetor v, sabendo que |v|=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor v no espaço que forma ângulos de 60^circ com o vetor i e 120^circ com o vetor j. Além disso, sabemos que a magnitude de v é 2. Nosso objetivo é determinar o vetor v, ou seja, encontrar suas componentes ao longo de i e j.
Para resolver isso, vamos usar trigonometria básica aplicada aos vetores. Precisaremos calcular as componentes de v nas direções de i e j usando as informações dos ângulos e da magnitude.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a componente de um vetor em uma direção específica pode ser encontrada usando o cosseno do ângulo que ele forma com essa direção. A fórmula geral para a componente do vetor v na direção de um vetor unitário u é:
vu = |v| cos(theta)
onde:
  • |v| é a magnitude de v,
  • theta é o ângulo entre v e u.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para encontrar a componente de v na direção de i. Sabemos que o ângulo entre v e i é 60^circ, e a magnitude de v é 2. Assim:
vi = 2 cos(60^circ)
Sabendo que cos(60^circ) = 0,5, temos:
vi = 2 times 0,5 = 1
Então, a componente de v na direção de i é 1.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a componente de v na direção de j. O ângulo entre v e j é 120^circ. Aplicando a mesma fórmula:
vj = 2 cos(120^circ)
Sabemos que cos(120^circ) = -0,5, então:
vj = 2 times (-0,5) = -1
Portanto, a componente de v na direção de j é -1.

Passo 5

Agora que temos as componentes de v nas direções de i e j, podemos escrever o vetor completo. Lembrando que um vetor no plano pode ser representado como a soma de suas componentes nas direções dos eixos coordenados, temos:
v = vi i + vj j = 1i - 1j

Resposta

O vetor v é igual a 1,i - 1,j.

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