Um vetor do espaço forma os vetores e angulos de e , respectivamente. Determinar o vetor , sabendo que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor no espaço que forma ângulos de com o vetor e com o vetor . Além disso, sabemos que a magnitude de é 2. Nosso objetivo é determinar o vetor , ou seja, encontrar suas componentes ao longo de e .
Para resolver isso, vamos usar trigonometria básica aplicada aos vetores. Precisaremos calcular as componentes de nas direções de e usando as informações dos ângulos e da magnitude.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a componente de um vetor em uma direção específica pode ser encontrada usando o cosseno do ângulo que ele forma com essa direção. A fórmula geral para a componente do vetor na direção de um vetor unitário é:
onde:
é a magnitude de ,
é o ângulo entre e .
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar a componente de na direção de . Sabemos que o ângulo entre e é , e a magnitude de é 2. Assim:
Sabendo que , temos:
Então, a componente de na direção de é 1.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a componente de na direção de . O ângulo entre e é . Aplicando a mesma fórmula:
Sabemos que , então:
Portanto, a componente de na direção de é -1.
Passo 5
Agora que temos as componentes de nas direções de e , podemos escrever o vetor completo. Lembrando que um vetor no plano pode ser representado como a soma de suas componentes nas direções dos eixos coordenados, temos: