Determine os ângulos internos do triângulo cujos vértices são os pontos
;
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os ângulos internos de um triângulo cujos vértices estão nos pontos A(0,3,4), B(-1,2,2) e C(2,-1,2). Isso envolve geometria no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar calcular as distâncias entre os pontos para achar os lados do triângulo e depois usar a Lei dos Cossenos para descobrir os ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos A e B. A fórmula para a distância entre dois pontos no espaço 3D é:
Aplicando para A(0,3,4) e B(-1,2,2):
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os pontos B e C. Usando a mesma fórmula:
Passo 4
Em seguida, calculamos a distância entre os pontos C e A:
Passo 5
Agora que temos os comprimentos dos lados do triângulo, podemos usar a Lei dos Cossenos para encontrar os ângulos. A Lei dos Cossenos diz que:
Onde
é o ângulo oposto ao lado
, e
e
são os outros dois lados.
Passo 6
Vamos encontrar o ângulo em A. Os lados adjacentes a A são AB e CA, e o lado oposto é BC. Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Então,
Passo 7
Agora, vamos achar o ângulo em B. Os lados adjacentes a B são AB e BC, e o lado oposto é CA. Aplicando a fórmula:
Então,
Passo 8
Por último, vamos encontrar o ângulo em C. Os lados adjacentes a C são CA e BC, e o lado oposto é AB. Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Então,
Resposta
Os ângulos internos do triângulo são aproximadamente:
- Ângulo em A: 60°
- Ângulo em B: 90°
- Ângulo em C: 30°
Exercícios relacionados
Um vetor
do espaço forma os vetores
e
angulos de
e
, respectivamente. Determinar o vetor
, sabendo que
.
Determinar um vetor ortogonal aos vetores
e
múltiplos
Dados os vetores
determinar
e
sabendo que
e que o vetor
forma ângulos iguais com os eixos coordenados Ox e Oy .
Determinar um vetor unitário ortogonal aos vetores
e
. (usando o produto escalar e o vetorial)