Determine os ângulos internos do triângulo cujos vértices são os pontos A(0,3,4) ; B(-1,2,2); C(2,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os ângulos internos de um triângulo cujos vértices estão nos pontos A(0,3,4), B(-1,2,2) e C(2,-1,2). Isso envolve geometria no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar calcular as distâncias entre os pontos para achar os lados do triângulo e depois usar a Lei dos Cossenos para descobrir os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos A e B. A fórmula para a distância entre dois pontos no espaço 3D é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Aplicando para A(0,3,4) e B(-1,2,2):
AB = raiz(-1 - 0)^2 + (2 - 3)^2 + (2 - 4)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 approx 2,45

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os pontos B e C. Usando a mesma fórmula:
BC = raiz(2 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2 + (2 - 2)^2 = raiz9 + 9 + 0 = raiz18 approx 4,24

Passo 4

Em seguida, calculamos a distância entre os pontos C e A:
CA = raiz(0 - 2)^2 + (3 - (-1))^2 + (4 - 2)^2 = raiz4 + 16 + 4 = raiz24 approx 4,90

Passo 5

Agora que temos os comprimentos dos lados do triângulo, podemos usar a Lei dos Cossenos para encontrar os ângulos. A Lei dos Cossenos diz que:
cos(gamma) = a^2 + b^2 - c^22ab
Onde é o ângulo oposto ao lado , e e são os outros dois lados.

Passo 6

Vamos encontrar o ângulo em A. Os lados adjacentes a A são AB e CA, e o lado oposto é BC. Aplicando a fórmula:
cos(A) = AB^2 + CA^2 - BC^22 cdot AB cdot CA = 6 + 24 - 182 cdot raiz6 cdot raiz24 = 122 cdot raiz6 cdot raiz24
Simplificando:
cos(A) = 122 cdot raiz144 = 1224 = 0,5
Então,
A = arccos(0,5) = 60^circ

Passo 7

Agora, vamos achar o ângulo em B. Os lados adjacentes a B são AB e BC, e o lado oposto é CA. Aplicando a fórmula:
cos(B) = AB^2 + BC^2 - CA^22 cdot AB cdot BC = 6 + 18 - 242 cdot raiz6 cdot raiz18 = 02 cdot raiz108 = 0
Então,
B = arccos(0) = 90^circ

Passo 8

Por último, vamos encontrar o ângulo em C. Os lados adjacentes a C são CA e BC, e o lado oposto é AB. Aplicando a fórmula:
cos(C) = CA^2 + BC^2 - AB^22 cdot CA cdot BC = 24 + 18 - 62 cdot raiz24 cdot raiz18 = 362 cdot raiz432
Simplificando:
cos(C) = 362 cdot 20,78 approx 3641,56 approx 0,866
Então,
C = arccos(0,866) approx 30^circ

Resposta

Os ângulos internos do triângulo são aproximadamente:
  • Ângulo em A: 60°
  • Ângulo em B: 90°
  • Ângulo em C: 30°

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