Dados os vetores u=(1,1,1), v=(alpha, beta, 0) determinar alpha e beta sabendo que |u wed>= v|=1 e que o vetor (u wed>= v) forma ângulos iguais com os eixos coordenados Ox e Oy .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no espaço:
  • u = (1, 1, 1)
  • v = (alpha, beta, 0)
O objetivo é encontrar os valores de alpha e beta que satisfazem duas condições:
  1. A norma (ou tamanho) do produto vetorial |u wed>= v| = 1.
  2. O vetor resultante do produto vetorial forma ângulos iguais com os eixos Ox e Oy.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial, a norma de um vetor e como determinar os ângulos que um vetor faz com os eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial u wed>= v. O produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a wed>= b = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 )
Aplicando isso aos nossos vetores u e v:
u wed>= v = ( 1 cdot 0 - 1 cdot beta, 1 cdot alpha - 1 cdot 0, 1 cdot beta - 1 cdot alpha ) = (-beta, alpha, beta - alpha)

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma desse produto vetorial. A norma de um vetor w = (w1, w2, w3) é dada por:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso produto vetorial u wed>= v = (-beta, alpha, beta - alpha):
|u wed>= v| = raiz(-beta)^2 + alpha^2 + (beta - alpha)^2 = raizbeta^2 + alpha^2 + (beta^2 - 2alphabeta + alpha^2) = raiz2beta^2 + 2alpha^2 - 2alphabeta
Sabemos que essa norma deve ser igual a 1:
raiz2beta^2 + 2alpha^2 - 2alphabeta = 1
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
2beta^2 + 2alpha^2 - 2alphabeta = 1

Passo 4

A próxima condição é que o vetor u wed>= v forma ângulos iguais com os eixos Ox e Oy. Isso significa que as componentes x e y desse vetor têm o mesmo módulo:
|-beta| = |alpha| Rightarrow beta = pm alpha
Vamos considerar inicialmente beta = alpha.

Passo 5

Substituindo beta = alpha na equação da norma:
2alpha^2 + 2alpha^2 - 2alpha^2 = 1 Rightarrow 2alpha^2 = 1 Rightarrow alpha^2 = 12 Rightarrow alpha = pm raiz22
Então, beta = alpha = pm raiz22.

Passo 6

Verificamos o caso beta = -alpha:
Substituindo beta = -alpha na equação da norma:
2(-alpha)^2 + 2alpha^2 - 2alpha(-alpha) = 2alpha^2 + 2alpha^2 + 2alpha^2 = 6alpha^2 = 1 Rightarrow alpha^2 = 16 Rightarrow alpha = pm raiz66
Então, beta = -alpha = mp raiz66.

Resposta

Os valores possíveis são:
  1. alpha = raiz22 e beta = raiz22
  2. alpha = -raiz22 e beta = -raiz22
  3. alpha = raiz66 e beta = -raiz66
  4. alpha = -raiz66 e beta = raiz66

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