O vetor posiçāo de uma partícula é dado por r(t)=(r0+b t) imath-c t^2 jmath, onde as constantes são r0=1 m, b=2 m / s, c=3 m / s^2 e imath e jmath são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Calcule o vetor aceleração da partícula em t=1 s;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem o vetor posição de uma partícula dado por r(t)=(r0+b t) imath-c t^2 jmath, onde as constantes são r0=1 m, b=2 m / s, e c=3 m / s^2. Nosso objetivo é calcular o vetor aceleração da partícula no instante t=1 s. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas de vetores em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a aceleração é a segunda derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja, se r(t) é a posição, então a velocidade v(t) é a primeira derivada de r(t), e a aceleração a(t) é a derivada de v(t), ou a segunda derivada de r(t).
Matematicamente:
v(t) = dr(t)dt
a(t) = dv(t)dt = d^2r(t)dt^2

Passo 3

Vamos encontrar a velocidade v(t) derivando r(t) em relação ao tempo:
r(t) = (r0 + b t) imath - c t^2 jmath
Derivando cada componente:
ddt(r0 + b t) = b
ddt(-c t^2) = -2c t
Então, a velocidade é:
v(t) = b imath - 2c t jmath

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração a(t) derivando v(t) em relação ao tempo:
v(t) = b imath - 2c t jmath
Derivando cada componente:
ddt(b) = 0
ddt(-2c t) = -2c
Então, a aceleração é:
a(t) = 0 imath - 2c jmath

Passo 5

Finalmente, vamos substituir t = 1 s na expressão da aceleração. Porém, observamos que a aceleração não depende de t, então o vetor aceleração será o mesmo para qualquer valor de t:
a(1) = 0 imath - 2c jmath
Agora, substituindo o valor de c = 3 m / s^2:
a(1) = 0 imath - 2 times 3 m / s^2 jmath = 0 imath - 6 m / s^2 jmath

Resposta

O vetor aceleração da partícula em t=1 s é a(1) = -6, m/s^2, jmath.

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