O vetor posiçāo de uma partícula é dado por
, onde as constantes são
e
e
são os vetores unitários nas direções
e
, respectivamente.
Calcule o vetor velocidade da partícula em
;
Calcule o vetor velocidade da partícula em
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cinemática onde temos o vetor posição de uma partícula dado por
. Nosso objetivo é encontrar o vetor velocidade da partícula no instante
segundos. Para isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade a partir do vetor posição, usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar cada componente de
separadamente.
Passo 3
Vamos derivar a componente na direção
:
Isso porque a derivada de uma constante (
) é zero, e a derivada de
em relação a
é apenas
.
Passo 4
Agora, vamos derivar a componente na direção
:
Aqui, usamos a regra da potência: a derivada de
é
, então multiplicamos pelo coeficiente
.
Passo 5
Agora, juntando as duas componentes derivadas, temos o vetor velocidade:
Passo 6
Vamos substituir os valores das constantes e o tempo
s na expressão da velocidade:
Substituindo:
Resposta
O vetor velocidade da partícula em
segundos é
.
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Calcule
em termos do coeficiente expansão térmica
da compressibilidade térmica
e da temperatura.
Derive uma expressão para a velocidade do som em um gás ideal, em termos de sua temperatura e massa molecular média. Compare seu resultado com o fórmula para a velocidade rms das moléculas do gás. Avalie a velocidade do som numericamente para o ar à temperatura ambiente.
O vetor posiçāo de uma partícula é dado por
, onde as constantes são
e
e
são os vetores unitários nas direções
e
, respectivamente.
Calcule o vetor aceleração da partícula em ;
Calcule o vetor aceleração da partícula em
onde as funções
e assim por diante são chamadas de coeficientes viriais. Quando a densidade do gás é bastante baixa, de modo que o volume por mol é grande, cada termo da série é muito menor que o anterior. Em muitas situações é suficiente omitir o terceiro termo e concentrar-se no segundo, cujo coeficiente
é chamado de segundo coeficiente virial (sendo o primeiro coeficiente 1). Aqui estão alguns valores medidos do segundo coeficiente virial para nitrogênio
:
|
|
---|---|
100 | -160 |
200 | -35 |
300 | -4.2 |
400 | 9 |
500 | 16.9 |
600 | 21.3 |
a-) Para cada temperatura na tabela, calcule o segundo termo no virial equação,
, para nitrogênio à pressão atmosférica. Discuta a validade da lei dos gases ideais sob estas condições.