O vetor posiçāo de uma partícula é dado por r(t)=(r0+b t) imath-c t^2 jmath, onde as constantes são r0=1 m, b=2 m / s, c=3 m / s^2 e imath e jmath são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Calcule o vetor velocidade da partícula em t=3 s;

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cinemática onde temos o vetor posição de uma partícula dado por r(t)=(r0+b t) imath-c t^2 jmath. Nosso objetivo é encontrar o vetor velocidade da partícula no instante t = 3 segundos. Para isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade a partir do vetor posição, usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar cada componente de r(t) separadamente.

Passo 3

Vamos derivar a componente na direção imath:
ddt(r0 + b t) = 0 + b = b
Isso porque a derivada de uma constante ( r0) é zero, e a derivada de b t em relação a t é apenas b.

Passo 4

Agora, vamos derivar a componente na direção jmath:
ddt(-c t^2) = -2c t
Aqui, usamos a regra da potência: a derivada de t^2 é 2t, então multiplicamos pelo coeficiente -c.

Passo 5

Agora, juntando as duas componentes derivadas, temos o vetor velocidade:
v(t) = b imath - 2c t jmath

Passo 6

Vamos substituir os valores das constantes e o tempo t = 3 s na expressão da velocidade:
b = 2 , m/s c = 3 , m/s^2 t = 3 , s
Substituindo:
v(3) = 2 imath - 2 times 3 times 3 jmath = 2 imath - 18 jmath

Resposta

O vetor velocidade da partícula em t = 3 segundos é v(3) = 2 imath - 18 jmath , m/s.

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