O vetor posição de uma partícula em movirnento no espaço é dado por:
r(t)=[t cos (t)] i+[t sen(t)] j+t k
© (Valor: 0,6) Determine a equação da trajetória da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a posição de uma partícula em movimento no espaço através do vetor posição . Nosso objetivo é encontrar a equação da trajetória dessa partícula. Isso significa que queremos relacionar as coordenadas , e de forma que a trajetória seja descrita sem depender do tempo . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as componentes do vetor posição separadamente. A expressão dada é:
Então, temos:
r(t) = [t cos(t)] i + [t sen(t)] j + t k
x(t) = t cos(t)

Passo 3

Nosso próximo passo é eliminar o parâmetro z = t para relacionar x = z cos(z) , y = z sen(z) e diretamente. Observando a componente , vemos que:
Isso significa que podemos substituir por nas outras duas equações:

Passo 4

Agora temos e em termos de . Para descrever a trajetória no espaço, podemos expressar e em função de ou relacionar e diretamente. Contudo, como as funções envolvidas são e , não há uma maneira simples de eliminar e relacionar e diretamente sem manter como parâmetro.

Passo 5

Então, a equação paramétrica da trajetória da partícula é:
Isso descreve a posição da partícula para qualquer valor de x = z cos(z) y = z sen(z) z = z , eliminando o tempo .

Resposta

A equação da trajetória da partícula é dada pelas equações paramétricas:

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