Aplique o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar quais das expressões diferenciais abaixo são exatas
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer verificar se a expressão diferencial
é exata usando o critério de Euler das derivadas cruzadas. Isso envolve calcular as derivadas parciais dos coeficientes de
e
e ver se elas são iguais. Vamos precisar de cálculo de derivadas parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, identifique os coeficientes das diferentes partes da expressão diferencial. Ou seja, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Para isso, vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando cada parte:
Ent��o:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Agora, comparamos
e
:
Vemos que
.
Resposta
Como
, a expressão diferencial dada é exata.