Aplique o critério de Euler das derivadas cruzadas para verificar quais das expressões diferenciais abaixo são exatas
d) d z=(y+x y^2) e^x y d x+(x+x^2 y) e^x y d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer verificar se a expressão diferencial é exata usando o critério de Euler das derivadas cruzadas. Isso envolve calcular as derivadas parciais dos coeficientes de e e ver se elas são iguais. Vamos precisar de cálculo de derivadas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, identifique os coeficientes das diferentes partes da expressão diferencial. Ou seja, temos:
M(x, y) = (y + x y^2) e^x y
N(x, y) = (x + x^2 y) e^x y

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial Mpartial y = partialpartial y( y + x y^2 ) e^x y + ( y + x y^2 ) partialpartial y e^x y em relação a partialpartial y( y + x y^2 ) = 1 + 2 x y , ou seja, partialpartial y e^x y = x e^x y .
Para isso, vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia:
partial Mpartial y = (1 + 2 x y) e^x y + ( y + x y^2 ) x e^x y
Calculando cada parte:
partial Mpartial y = (1 + 2 x y + x y + x^2 y^2) e^x y
Ent��o:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de partial Npartial x = partialpartial x( x + x^2 y ) e^x y + ( x + x^2 y ) partialpartial x e^x y em relação a partialpartial x( x + x^2 y ) = 1 + 2 x y , ou seja, partialpartial x e^x y = y e^x y .
Novamente, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
partial Npartial x = (1 + 2 x y) e^x y + ( x + x^2 y ) y e^x y
Calculando cada parte:
partial Npartial x = (1 + 2 x y + x y + x^2 y^2) e^x y
Então:

Passo 5

Agora, comparamos partial Mpartial y = (1 + 2 x y + x y + x^2 y^2) e^x y e partial Npartial x = (1 + 2 x y + x y + x^2 y^2) e^x y :
Vemos que .

Resposta

Como , a expressão diferencial dada é exata.

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