O vetor posição de uma partícula em movirnento no espaço é dado por:
r(t)=[t cos (t)] i+[t sen(t)] j+t k
(a) (Valor: 0,7) Determine o vetor velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a posição de uma partícula no espaço, representada pelo vetor . O conteúdo aqui envolve vetores de posição e velocidade. Para encontrar o vetor velocidade, vamos precisar calcular a derivada do vetor posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o vetor velocidade. A velocidade de uma partícula é a taxa de variação da sua posição em relação ao tempo. Matemática isso significa que a velocidade v(t) = dr(t)dt é a derivada do vetor posição em relação a :

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao vetor posição dado:
r(t) = [t cos(t)] i + [t sin(t)] j + t k
Precisamos derivar cada componente desse vetor separadamente.

Passo 4

Vamos derivar a componente na direção ddt [t cos(t)] = cos(t) + t cdot (-sin(t)) = cos(t) - t sin(t) :
Aqui, usamos a regra do produto para derivar .

Passo 5

Agora, a componente na direção ddt [t sin(t)] = sin(t) + t cdot cos(t) = sin(t) + t cos(t) :
Também aplicamos a regra do produto para .

Passo 6

Por fim, a componente na direção ddt [t] = 1 :
A derivada de em relação a é simplesmente 1.

Resposta

Então, juntando todas as componentes derivadas, o vetor velocidade é:
v(t) = [cos(t) - t sin(t)] i + [sin(t) + t cos(t)] j + k

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