[Problemas com valor inicial deslocado] Estes correspondem aos problemas de valor inicial cujas condições iniciais são dadas para algum x=x0>0, em vez de x=0. Considere o seguinte (P.V.I.)
y^prime prime+y & =2 x y(pi / 4)=pi2, y^prime(pi / 4) & =2-raiz2
c) Conclua que y(x)=2 x-sin (x)+cos (x) é solução do (P.V.I.) original.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial (P.V.I.) com uma equação diferencial do tipo:
y'' + y = 2x
E as condições iniciais são dadas em y(pi4) = pi2, y'(pi4) = 2 - raiz2 :
O que precisamos fazer é mostrar que a função realmente resolve essa equação diferencial e satisfaz as condições iniciais. Para isso, vamos seguir alguns passos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que y(x) = 2x - sin(x) + cos(x) seja uma solução da equação diferencial. Isso quer dizer que, se substituirmos y'(x) = ddx(2x) - ddx(sin(x)) + ddx(cos(x)) = 2 - cos(x) - sin(x) e suas derivadas na equação y''(x) = ddx(2) - ddx(cos(x)) - ddx(sin(x)) = 0 + sin(x) - cos(x) , a igualdade deve se manter verdadeira para todo .
Então, vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 3

Agora que temos y'' + y = ( sin(x) - cos(x) ) + (2x - sin(x) + cos(x)) = 2x , vamos substituir e na equação diferencial para ver se ela é satisfeita:
Veja o que aconteceu aqui: os termos e se cancelaram, assim como e . Ficou apenas , que é exatamente o lado direito da equação. Então, satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

O próximo passo é verificar as condições iniciais para garantir que y(pi4) = 2 cdot pi4 - sin(pi4) + cos(pi4) = pi2 - raiz22 + raiz22 = pi2 não só resolve a equação diferencial, mas também cumpre os requisitos específicos do problema.
Primeiro, vamos calcular y'(pi4) = 2 - cos(pi4) - sin(pi4) = 2 - raiz22 - raiz22 = 2 - raiz2 :
Os termos e se cancelam, deixando , que é exatamente o valor dado na condição inicial.
Agora, vamos verificar :
Aqui, , resultando em , que também coincide com a condição inicial fornecida.

Resposta

Portanto, mostramos que não só resolve a equação diferencial , como também cumpre as condições iniciais dadas. Logo, é de fato a solução do P.V.I. original.

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