[Problemas com valor inicial deslocado] Estes correspondem aos problemas de valor inicial cujas condições iniciais são dadas para algum
, em vez de
. Considere o seguinte (P.V.I.)
c) Conclua que
é solução do (P.V.I.) original.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial (P.V.I.) com uma equação diferencial do tipo:
E as condições iniciais são dadas em
:
O que precisamos fazer é mostrar que a função
realmente resolve essa equação diferencial e satisfaz as condições iniciais. Para isso, vamos seguir alguns passos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
seja uma solução da equação diferencial. Isso quer dizer que, se substituirmos
e suas derivadas na equação
, a igualdade deve se manter verdadeira para todo
.
Então, vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 3
Agora que temos
, vamos substituir
e
na equação diferencial para ver se ela é satisfeita:
Veja o que aconteceu aqui: os termos
e
se cancelaram, assim como
e
. Ficou apenas
, que é exatamente o lado direito da equação. Então,
satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
O próximo passo é verificar as condições iniciais para garantir que
não só resolve a equação diferencial, mas também cumpre os requisitos específicos do problema.
Primeiro, vamos calcular
:
Os termos
e
se cancelam, deixando
, que é exatamente o valor dado na condição inicial.
Agora, vamos verificar
:
Aqui,
, resultando em
, que também coincide com a condição inicial fornecida.
Resposta
Portanto, mostramos que
não só resolve a equação diferencial
, como também cumpre as condições iniciais dadas. Logo,
é de fato a solução do P.V.I. original.