Os vetores a e b formam um ângulo de 150^circ, sabe-se que || a||=raiz3 e que || b||=raiz2, Calcule:
a) || a+b||

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e , que formam um ângulo de entre eles. Sabemos que o módulo de é e o de é . A gente precisa descobrir o módulo de . Para isso, vamos usar o conceito de adição de vetores e a fórmula do cosseno para calcular a magnitude da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o módulo da soma de dois vetores. A fórmula é:
||a + b|| = raiz||a||^2 + ||b||^2 + 2 cdot ||a|| cdot ||b|| cdot cos(theta)
Aqui, é o ângulo entre os vetores e . Essa fórmula vem do Teorema do Cosseno, que relaciona os lados de um triângulo com o cosseno de um de seus ângulos.

Passo 3

Vamos substituir os valores que a gente conhece nessa fórmula. Sabemos que:
||a|| = raiz3, ||b|| = raiz2, theta = 150^circ
Substituindo na fórmula:
||a + b|| = raiz(raiz3)^2 + (raiz2)^2 + 2 cdot raiz3 cdot raiz2 cdot cos(150^circ)

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. Primeiro, elevar ao quadrado os módulos:
(raiz3)^2 = 3, (raiz2)^2 = 2
  1. Agora, calcular 2 cdot raiz3 cdot raiz2 = 2 cdot raiz6 :
cos(150^circ) = -raiz32
  1. Precisamos do valor de 2 cdot raiz6 cdot (-raiz32) = -raiz18 = -3raiz2 . Sabemos que:
||a + b|| = raiz3 + 2 - 3raiz2 = raiz5 - 3raiz2
  1. Agora, multiplicar tudo:
  1. Juntando tudo na raiz:

Resposta

O módulo de é .

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