Os vetores a e b formam um ângulo de 150^circ, sabe-se que || a||=raiz3 e que || b||=raiz2, Calcule:
b) || a-b||

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, a e b, que formam um ângulo de 150^circ. Sabemos que o tamanho (ou norma) de a é raiz3 e o de b é raiz2. O que a gente precisa encontrar aqui é a norma do vetor a - b. Para isso, vamos usar conceitos de operações com vetores e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a norma da diferença de dois vetores. A fórmula é:
||a - b|| = raiz||a||^2 + ||b||^2 - 2 cdot ||a|| cdot ||b|| cdot cos(theta)
Onde:
  • ||a|| e ||b|| são as normas dos vetores a e b, respectivamente.
  • theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos substituir os valores que a gente conhece nessa fórmula. Temos:
  • ||a|| = raiz3
  • ||b|| = raiz2
  • theta = 150^circ
Então:
||a - b|| = raiz(raiz3)^2 + (raiz2)^2 - 2 cdot raiz3 cdot raiz2 cdot cos(150^circ)

Passo 4

Agora, vamos calcular os quadrados das normas:
  • (raiz3)^2 = 3
  • (raiz2)^2 = 2
Então a expressão fica:
||a - b|| = raiz3 + 2 - 2 cdot raiz3 cdot raiz2 cdot cos(150^circ)

Passo 5

Precisamos calcular o cosseno de 150^circ. Sabemos que:
cos(150^circ) = cos(180^circ - 30^circ) = -cos(30^circ) = -raiz32

Passo 6

Substituindo o valor de cos(150^circ) na expressão:
||a - b|| = raiz3 + 2 - 2 cdot raiz3 cdot raiz2 cdot (-raiz32)

Passo 7

Simplificando os termos:
  • O termo -2 cdot raiz3 cdot raiz2 cdot (-raiz32) vira 2 cdot raiz3 cdot raiz2 cdot raiz32 = raiz3 cdot raiz2 cdot raiz3 = 3 cdot raiz2
Então a expressão fica:
||a - b|| = raiz3 + 2 + 3raiz2 = raiz5 + 3raiz2

Resposta

A norma do vetor a - b é raiz5 + 3raiz2, que aproximadamente é igual a 3,04.

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