Encontre a equação geral do plano que contém a reta interseção dos planos
e
e que:
(a) contém a origem.
(a) contém a origem.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a equação geral de um plano que satisfaça duas condições:
- Contém a reta de interseção dos planos
e . - Passa pela origem
.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre interseção de planos e como combinar equações de planos.
Passo 2
Sabemos que a reta de interseção de dois planos pode ser descrita como uma combinação linear das suas equações. Isso significa que qualquer plano que contenha essa reta pode ser escrito como:
Onde
é um parâmetro que vamos determinar.
Passo 3
Vamos substituir as equações dos planos
e
na expressão acima:
Agora, vamos simplificar essa equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, sabemos que o plano
deve passar pela origem
. Isso significa que, ao substituir
,
e
na equação de
, a igualdade deve ser verdadeira.
Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na equação generalizada do plano
:
Simplificando:
Ou seja:
Resposta
A equação geral do plano é
.