Encontre a equação geral do plano que contém a reta interseção dos planos alpha: 3 x-y+2 z+9=0 e beta: x+z-3=0 e que:
(a) contém a origem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a equação geral de um plano que satisfaça duas condições:
  1. Contém a reta de interseção dos planos e .
  2. Passa pela origem .
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre interseção de planos e como combinar equações de planos.

Passo 2

Sabemos que a reta de interseção de dois planos pode ser descrita como uma combinação linear das suas equações. Isso significa que qualquer plano que contenha essa reta pode ser escrito como:
gamma: alpha + lambda beta = 0
Onde é um parâmetro que vamos determinar.

Passo 3

Vamos substituir as equações dos planos gamma: (3x - y + 2z + 9) + lambda (x + z - 3) = 0 e 3x - y + 2z + 9 + lambda x + lambda z - 3lambda = 0 na expressão acima:
(3 + lambda)x - y + (2 + lambda)z + (9 - 3lambda) = 0
Agora, vamos simplificar essa equação:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, sabemos que o plano (3 + lambda)(0) - (0) + (2 + lambda)(0) + (9 - 3lambda) = 0 deve passar pela origem 0 - 0 + 0 + 9 - 3lambda = 0 . Isso significa que, ao substituir 9 - 3lambda = 0 , e na equação de , a igualdade deve ser verdadeira.
Substituindo:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de 9 - 3lambda = 0 :
-3lambda = -9
lambda = 3

Passo 6

Com o valor de gamma: (3 + 3)x - y + (2 + 3)z + (9 - 3 times 3) = 0 encontrado, substituímos de volta na equação generalizada do plano 6x - y + 5z + 0 = 0 :
6x - y + 5z = 0
Simplificando:
Ou seja:

Resposta

A equação geral do plano é .

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