Vetores de campo de uma OEM que se desloca através de um meio sem perdas são dadas por E=1,333 cos (omega t-beta y) ax V / m e H= -4,243 cos (omega t-beta y) az mA / m. Em um ponto do espaço e instante de tempo, a densidade de potência superficial transportada pela onda e a densidade de energia eletromagnética da onda chega a P= 1,7 mW / m^2 e varphie m=16,97 pJ / m^3, respectivamente. Quais são a permissividade e a permeabilidade relativas do meio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre ondas eletromagnéticas (OEM) se movendo num meio sem perdas. Os vetores de campo elétrico E e magnético H são fornecidos, assim como a densidade de potência superficial P e a densidade de energia eletromagnética φ_em. O que queremos descobrir são a permissividade relativa (ε_r) e a permeabilidade relativa (μ_r) do meio. Para resolver isso, vamos precisar das relações fundamentais das OEM, como a relação entre E, H, P, φ_em, e como elas se conectam com ε_r e μ_r.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de potência superficial P é dada pelo vetor de Poynting (S), que representa a energia transferida pela onda. A fórmula para o vetor de Poynting é:
S = E times H
Como estamos interessados na magnitude, temos:
P = E cdot H
Aqui, E é a amplitude do campo elétrico e H é a amplitude do campo magnético.

Passo 3

Sabemos que a densidade de energia eletromagnética φ_em em um meio é a soma das energias armazenadas nos campos elétrico e magnético:
phiem = 12 varepsilon E^2 + 12 mu H^2
Onde ε é a permissividade do meio e μ é a permeabilidade do meio. Como queremos as relativas, lembramos que:
varepsilon = varepsilon0 varepsilonr
mu = mu0 mur
ε₀ e μ₀ são a permissividade e permeabilidade do vácuo, respectivamente.

Passo 4

Vamos usar os valores fornecidos:
  • E = 1,333 V/m
  • H = 4,243 mA/m = 0,004243 A/m (já que 1 A = 1000 mA)
  • P = 1,7 mW/m² = 0,0017 W/m²
  • φ_em = 16,97 pJ/m³ = 16,97 × 10^{-12} J/m³
Primeiro, vamos verificar a relação entre P e E × H:
P = E cdot H = 1,333 times 0,004243 = 0,00566 W/m² ²
Parece que há uma discrepância, então é possível que H seja dada em -a_z, mas consideramos apenas os valores absolutos para magnitudes.

Passo 5

Agora, vamos usar a densidade de energia:
phiem = 12 varepsilon E^2 + 12 mu H^2
Substituindo os valores:
16,97 times 10^-12 = 12 varepsilon (1,333)^2 + 12 mu (0,004243)^2
Isso nos dá uma equação com ε e μ.

Passo 6

Sabemos que em um meio sem perdas, a velocidade da onda v está relacionada com ε e μ:
v = 1raizvarepsilon mu
Além disso, a relação entre E e H em um meio é dada pela impedância característica do meio (η):
eta = raizmuvarepsilon = EH
Vamos calcular η:
eta = 1,3330,004243 approx 314 Omega
Então:
raizmuvarepsilon = 314
Quadrando ambos os lados:
muvarepsilon = (314)^2 = 98.596
Portanto:
mu = 98.596 cdot varepsilon

Passo 7

Agora, substituímos μ na equação da densidade de energia:
16,97 times 10^-12 = 12 varepsilon (1,333)^2 + 12 (98.596 varepsilon) (0,004243)^2
Calculando os termos:
16,97 times 10^-12 = 0,5 cdot varepsilon cdot 1,776 + 0,5 cdot 98,596 cdot varepsilon cdot 1,800 times 10^-5
16,97 times 10^-12 = 0,888 varepsilon + 0,0158 varepsilon
16,97 times 10^-12 = 0,9038 varepsilon
Resolvendo para ε:
varepsilon = 16,97 times 10^-120,9038 approx 1,878 times 10^-11 F/m

Passo 8

Agora, encontramos μ:
mu = 98,596 cdot 1,878 times 10^-11 approx 1,851 times 10^-9 H/m

Passo 9

Finalmente, calculamos a permissividade e permeabilidade relativas:
varepsilonr = varepsilonvarepsilon0 = 1,878 times 10^-118,854 times 10^-12 approx 2,12
mur = mumu0 = 1,851 times 10^-94pi times 10^-7 approx 1,47 times 10^-3

Resposta

A permissividade relativa do meio é aproximadamente ε_r ≈ 2,12 e a permeabilidade relativa é aproximadamente μ_r ≈ 1,47 × 10⁻³.

Exercícios relacionados

Em um meio, E=16 e^-0.05 x sen(2 times 10^8 t-2 x) az V / m. Encontre: (a) a constante de propagação; (b) o comprimento de onda; © a velocidade da onda; (d) a profundidade de penetração peculiar.
Seja mu=3 times 10^-5 H / m, epsilon=1,2 times 10^-10 F / m e sigma=0 em todos os pontos. Se H=2 cos (10^10 t-beta x) az A / m, use as equações de Maxwell para obter expressões para: B, D, E e beta.
Linhas sem perdas, significa que:
a) No devido tempo, toda potência injetada na linha na extremidade inicial chega em sua extremidade final.
b) Não existe efeitos dissipativos de energia nem de potência.
c) Que não existe nenhum elemento básico de circuito na descrição da linha.
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e) A corrente e a tensão são contínuas na frente de onda.
Uma linha de transmissão no ar tem impedância característica de 70 Omega,e portanto, pode ser considerada uma linha sem perdas. Sua constante de fase é de 3 rad / m a 100 MHz . Calcule a indutância por metro e a capacitância por metro da linha.