Dados os vetores v1=(0,1,-1), v2=(2,0,0) e v3=(0,2,-3). Determine um vetor v, tal que v / / v3 e v times v1=v2.
RESP: barv=(0,4,-6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá três vetores: v1 = (0,1,-1), v2 = (2,0,0) e v3 = (0,2,-3). A gente precisa encontrar um vetor v que seja paralelo a v3 e que, quando fizermos o produto vetorial de v com v1, o resultado seja v2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores paralelos e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, como v é paralelo a v3, isso significa que v pode ser escrita como um múltiplo escalar de v3. Ou seja:
v = k cdot v3 = k cdot (0,2,-3) = (0, 2k, -3k)
Aqui, k é um número real que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda condição: o produto vetorial de v com v1 deve ser igual a v2. O produto vetorial entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a times b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
Vamos aplicar isso a v times v1:
v times v1 = (2k cdot (-1) - (-3k) cdot 1, (-3k) cdot 0 - 0 cdot (-1), 0 cdot 1 - 2k cdot 0) = (-2k + 3k, 0, 0) = (k, 0, 0)
De acordo com o problema, isso deve ser igual a v2 = (2,0,0). Portanto:
(k, 0, 0) = (2,0,0)
Isso nos dá que k = 2.

Passo 4

Agora que encontramos k = 2, podemos substituir de volta na expressão de v:
v = 2 cdot (0,2,-3) = (0, 4, -6)
Então, o vetor que a gente tava procurando é (0, 4, -6).

Resposta

v = (0,,4,,-6)

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