(a) Os vetores velocidade e posição para qualquer tempo t são, respectivamente:
X r(t)=[(10 m)+5 ms^2 t^2] i+[(5 m)+5 / 2 ms^2 cdot t^2] j e v(t)=(10 ms^2) t i+(5 ms^2) t j ;() r(t)=[(5 m)+10 ms^2 t^2] i+ [(5 m)+5 / 2 ms^2 t^2] jmath e v(t)=(10 ms^2) t s+(5 ms^2) t s ;() r(t)=[(10 m)+5 ms^2 t^2] s+[(5 m)+5 / 2 ms^2 ms^2 t^2] j e
v(t)=(5 ms^2) t imath+(10 ms^2) t jmath ;() Nenhuma das alternativas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem dois vetores: o vetor posição e o vetor velocidade para qualquer tempo . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Cinemático, que trata de como a posição e a velocidade de um objeto mudam com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender que o vetor velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor velocidade v(t) = dr(t)dt é calculado derivando-se o vetor posição em relação ao tempo . Ou seja:
Isso significa que, para cada componente de , a gente vai derivar em relação a para encontrar a correspondente componente de .

Passo 3

Olhemos o vetor posição dado na opção (a):
r(t) = [(10, m) + 5, ms^2 t^2] i + [(5, m) + 52, ms^2 t^2] j
Agora, vamos derivar cada componente em relação a ddt[(10, m) + 5, ms^2 t^2] = 0 + 10, ms^2 t = 10, ms^2 t .
Para a componente ddt[(5, m) + 52, ms^2 t^2] = 0 + 5, ms^2 t = 5, ms^2 t :
v(t) = 10, ms^2 t i + 5, ms^2 t j
Para a componente :
Portanto, o vetor velocidade calculado a partir de é:

Passo 4

Agora, vamos comparar esse vetor velocidade que acabamos de encontrar com o vetor velocidade fornecido na opção (a):
v(t) = (10, ms^2) t i + (5, ms^2) t j
Eles são exatamente iguais! Isso significa que a opção (a) está correta, já que o vetor velocidade fornecido corresponde à derivada do vetor posição.

Resposta

A opção (a) está correta, os vetores posição e velocidade estão corretamente relacionados.

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