Uma bola B é liberada do repouso do topo de um prédio no mesmo instante em que uma bola A é lançada verticalmente para cima a partir do solo. Quando as bolas colidem, elas estão se movendo em sentidos opostos e a velocidade de B é duas vezes maior que a velocidade de A. Em que fração da altura do prédio a colisão ocorre?
1.8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas bolas, A e B, que são soltas ou lançadas de pontos opostos em um prédio. A bola B é solta do alto do prédio e começa a cair, enquanto a bola A é lançada para cima a partir do chão. Elas colidem enquanto estão se movendo em direções opostas, e a velocidade da bola B nesse momento é o dobro da velocidade da bola A. Nosso objetivo é descobrir em que fração da altura total do prédio essa colisão acontece. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que vamos usar:
  • : altura total do prédio.
  • : tempo até a colisão.
  • : aceleração da gravidade (aproximadamente ²).
  • : velocidade da bola A no momento da colisão.
  • : velocidade da bola B no momento da colisão.

Passo 3

Vamos analisar o movimento da bola B primeiro. Ela é solta do repouso, então sua velocidade inicial é zero. A posição da bola B em função do tempo pode ser descrita pela equação da queda livre:
sB = H - 12 g t² ²
Aqui, é a posição da bola B em relação ao solo.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a bola A, que é lançada para cima. Vamos supor que a velocidade inicial da bola A seja sA = v0 t - 12 g t² . A posição da bola A em função do tempo é dada por:
v0 t - 12 g t² = H - 12 g t² ²
Como a colisão ocorre quando as bolas estão a mesma altura, podemos igualar e :
²²

Passo 5

Simplificando a equação acima, os termos v0 t = H ² se cancelam:
t = Hv0
Então, o tempo até a colisão é:

Passo 6

Agora, vamos usar a informação de que a velocidade da bola B é duas vezes a da bola A no momento da colisão:
vB = 2 vA
Sabemos que:
vB = g t
vA = v0 - g t
Substituindo g t = 2 (v0 - g t) na primeira equação:

Passo 7

Vamos resolver para g t = 2 v0 - 2 g t :
g t + 2 g t = 2 v0
3 g t = 2 v0
v0 = 3 g t2

Passo 8

Lembrando que v0 = 3 g (Hv0)2 , substituímos na equação:
v0² = 3 g H2
v0 = raiz3 g H2 ²

Passo 9

Agora, vamos encontrar a altura onde ocorre a colisão usando sA = v0 (Hv0) - 12 g (Hv0)^2 ². Substituindo sA = H - 12 g H²v0² :
sA = H - 12 g H²3 g H2 = H - 12 cdot 2 H3 = H - H3 = 2 H3
²²
Substituindo ²:
²

Resposta

A colisão ocorre na da altura total do prédio.

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