(a) Os vetores velocidade e posição para qualquer tempo t são, respectivamente:
[(5 m)+5 / 2 ms^2 t^2] j e v(t)=(10 ms^2) t imath+(5 ms^2) t jmath ;() r(t)=[(10 m)+5 ms^2 t^2] s+[(5 m)+5 / 2 ms^2 t^2] jmath e v(t)=(5 ms^2) t i+(10 ms^2) t j ; ( ) Nenhuma das alternativas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve vetores de velocidade e posição em função do tempo . A matéria aqui é Cinemática Vetorial, onde a gente estuda como os objetos se movem no espaço ao longo do tempo usando vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar a posição a partir da velocidade e vice-versa, além de saber como integrar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dr(t)dt
Então, se tivermos a posição, podemos encontrar a velocidade derivando cada componente.

Passo 3

Vamos analisar as expressões que você forneceu. Parece que temos duas possíveis definições para v(t) = (10 ms) t imath + (5 ms) t jmath e r(t) = [(10 m) + 5 ms^2 t^2] imath + [(5 m) + 52 ms^2 t^2] jmath . Vamos pegar a primeira opção:
E para a posição correspondente:
Queremos verificar se essas expressões estão corretas, ou seja, se realmente é a derivada de .

Passo 4

Vamos derivar dr(t)dt = ddt[(10 m) + 5 ms^2 t^2] imath + ddt[(5 m) + 52 ms^2 t^2] jmath em relação ao tempo para encontrar ddt[(10 m) + 5 ms^2 t^2] = 0 + 10 ms^2 t = 10 ms^2 t :
ddt[(5 m) + 52 ms^2 t^2] = 0 + 5 ms^2 t = 5 ms^2 t
Derivando cada termo:
v(t) = (10 ms^2 t) imath + (5 ms^2 t) jmath
Então, a derivada de é:
Que é exatamente a expressão que foi fornecida para .

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda opção para v(t) = (5 ms^2) t imath + (10 ms^2) t jmath e r(t) = [(10 m) + 5 ms^2 t^2] imath + [(5 m) + 52 ms^2 t^2] jmath :
v(t) = (10 ms^2 t) imath + (5 ms^2 t) jmath
E supondo que seja:
Vamos derivar novamente:
Comparando com a segunda opção de , vemos que os coeficientes das componentes e estão trocados. Ou seja, a velocidade derivada a partir dessa posição não coincide com a segunda opção de .

Resposta

A primeira opção para e está correta, pois a derivada de resulta em conforme fornecido. A segunda opção de não corresponde à derivada de . Portanto, a resposta correta é a primeira alternativa apresentada.

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