Uma vibração mecânica é o movimento de uma partícula ou de um corpo que oscila em torno de uma posição de equilíbrio. No pêndulo acoplado, calcule a que distância, em metros, a mola deve estar do fulcro para que uma frequência natural seja o dobro da outra se m = 1,5 kg, L = 2,0 m, k = 19,62 N/m. Adotar g = 9,81 m/s².

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pêndulo acoplado, ou seja, um pêndulo que está ligado a uma mola. Precisamos descobrir a distância que a mola deve estar do ponto de apoio (fulcro) para que uma das frequências naturais do sistema seja o dobro da outra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vibrações mecânicas, frequências naturais de pêndulos e sistemas massa-mola.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as frequências naturais envolvidas. Um pêndulo simples tem uma frequência natural dada por:
omegap = raizgL
onde:
  • $ \omega_p $ é a frequência angular do pêndulo,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (9,81 m/s²),
  • $ L $ é o comprimento do pêndulo (2,0 m).
Já a frequência natural de um sistema massa-mola é:
omegap
onde:
  • $ \omega_s $ é a frequência angular do sistema massa-mola,
  • $ k $ é a constante da mola (19,62 N/m),
  • $ m $ é a massa (1,5 kg).

Passo 3

A questão pede para que uma das frequências seja o dobro da outra. Vamos supor que a frequência do pêndulo ($ \omega_p omegap ê \omega_s $), ou seja:
omegas
Vamos substituir as fórmulas das frequências:
omegap = 2 omegas

Passo 4

Agora, vamos isolar os valores conhecidos e resolver para encontrar a relação entre $ L $ e $ k $. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes quadradas:
L

Passo 5

Em seguida, isolamos $ L $:
L
Agora, substituímos os valores dados:
L = g cdot m4k ²

Passo 6

Calculando o numerador:
9,81 times 1,5 = 14,715 , N
E o denominador:
4 times 19,62 = 78,48 , N/m
Então:
L = 14,71578,48 approx 0,1875 , m

Resposta

A mola deve estar a aproximadamente 0,1875 metros do fulcro para que uma frequência natural seja o dobro da outra.

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