Uma vibração mecânica é o movimento de uma partícula ou de um corpo que oscila em torno de uma posição de equilíbrio. No pêndulo acoplado, calcule a que distância, em metros, a mola deve estar do fulcro para que uma frequência natural seja o dobro da outra se m = 1,5 kg, L = 2,0 m, k = 19,62 N/m. Adotar g = 9,81 m/s².
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pêndulo acoplado, ou seja, um pêndulo que está ligado a uma mola. Precisamos descobrir a distância que a mola deve estar do ponto de apoio (fulcro) para que uma das frequências naturais do sistema seja o dobro da outra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vibrações mecânicas, frequências naturais de pêndulos e sistemas massa-mola.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as frequências naturais envolvidas. Um pêndulo simples tem uma frequência natural dada por:
onde:
- $ \omega_p $ é a frequência angular do pêndulo,
- $ g $ é a aceleração da gravidade (9,81 m/s²),
- $ L $ é o comprimento do pêndulo (2,0 m).
Já a frequência natural de um sistema massa-mola é:
onde:
- $ \omega_s $ é a frequência angular do sistema massa-mola,
- $ k $ é a constante da mola (19,62 N/m),
- $ m $ é a massa (1,5 kg).
Passo 3
A questão pede para que uma das frequências seja o dobro da outra. Vamos supor que a frequência do pêndulo ($ \omega_p
\omega_s $), ou seja:
Vamos substituir as fórmulas das frequências:
Passo 4
Agora, vamos isolar os valores conhecidos e resolver para encontrar a relação entre $ L $ e $ k $. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes quadradas:
Passo 5
Em seguida, isolamos $ L $:
Agora, substituímos os valores dados:
Passo 6
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:
Resposta
A mola deve estar a aproximadamente 0,1875 metros do fulcro para que uma frequência natural seja o dobro da outra.