Uma viga leve
sustenta um bloco de 15 kg em seu ponto médio
. Roletes em
e
repousam contra superficies sem atrito, e um cabo horizontal
está preso em
. Determine (a) a tração no cabo AD, (b) as reações em
e B.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma viga que sustenta um bloco de 15 kg no ponto médio. A viga está apoiada em dois pontos, A e B, que têm rolamentos sem atrito. Além disso, tem um cabo horizontal preso em A chamado AD. Nosso objetivo é encontrar:
(a) A tração no cabo AD.
(b) As reações nos apoios A e B.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática, que estuda as condições para que um corpo esteja em equilíbrio, ou seja, sem movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama de corpo livre da viga AB. No ponto C, temos o peso do bloco de 15 kg, que gera uma força para baixo. Nos apoios A e B, temos as reações que podem ter componentes horizontais e verticais, mas como os rolamentos não têm atrito, só teremos componentes verticais. O cabo AD gera uma tração horizontal em A.
Passo 3
Vamos identificar todas as forças atuantes na viga:
- Pesa do bloco: $ P = m \cdot g = 15 , kg \times 9,8 , m/s^2 = 147 , N $ (para baixo).
- Reação vertical em A: $ R_A $ (para cima).
- Reação vertical em B: $ R_B $ (para cima).
- Tração no cabo AD: $ T $ (para a esquerda, horizontal).
Passo 4
Como a viga está em equilíbrio, podemos aplicar as equações de equilíbrio:
-
Somatório das forças horizontais ($ \Sigma F_x = 0 $):Mas isso não faz sentido porque temos uma tração no cabo. Precisamos considerar que a tração $ T $ está equilibrando outras forças.
-
Somatório das forças verticais ($ \Sigma F_y = 0 $):
-
Somatório dos momentos ($ \Sigma M = 0 $) em relação a um ponto para eliminar incógnulas. Vamos calcular os momentos em A para eliminar $ R_A $:Considerando a distância entre A e B como $ L $, e o bloco está no meio:Então, $ R_A = 147 - 73,5 = 73,5 , N $.
Passo 5
Agora, vamos considerar o equilíbrio horizontal. A tração $ T $ no cabo deve ser equilibrada pelas reações horizontais. Mas como não há outras forças horizontais, isso indica que $ T $ está equilibrando a força horizontal resultante das reações nos apoios, que são nulas devido à ausência de atrito. Portanto, precisamos revisar nossos cálculos.
Na verdade, precisamos considerar que a viga está em equilíbrio com a tração $ T $ tentando torcer a viga. Então, vamos reavaliar os momentos.
Passo 6
Vamos calcular novamente os momentos, mas agora incluindo a tração $ T $:
Escolhendo o ponto A para calcular os momentos, a tração $ T $ gera um momento que depende da altura do cabo. Se o cabo é horizontal, a alavanca para $ T $ seria a altura da viga, mas como não foi dada, vamos assumir que estamos apenas considerando a força horizontal.
Para encontrar $ T $, precisamos relacionar as forças horizontais e verticais:
Onde $ H $ é a altura onde o cabo está preso. Mas sem essa informação, precisamos usar as reações horizontais.
Como não há outras forças horizontais, concluímos que $ T = 0 $, o que sugere que a viga não está sujeita a forças horizontais além da tração no cabo.
Passo 7
Vamos considerar que a tração $ T $ está equilibrando momentos gerados pela carga $ P $. Assim:
Assumindo $ H = \frac{L}{2} $, temos:
Resposta
(a) A tração no cabo AD é de 147 N.
(b) As reações nos apoios são:
- Reação em A: $ R_A = 73,5 , N $
- Reação em B: $ R_B = 73,5 , N $