Uma viga de madeira
de comprimento
e seção transversal retangular suporta uma única força concentrada
em seu ponto médio C. (a) Mostre que a relação
dos valores máximos das tensões de cisalhamento e normal na viga é igual a
, em que
e
são, respectivamente, a altura e o comprimento da viga. (b) Determine a altura
e a largura
da viga, sabendo que
960 kPa e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma viga de madeira, com comprimento
e seção transversal retangular, que está apoiada nas extremidades
e
. No ponto médio
, ela suporta uma força concentrada
. A matéria que vamos usar aqui é a de Mecânica dos Materiais, especificamente sobre as tensões na viga. Precisamos relacionar as tensões de cisalhamento e normal máximas nessa viga e, depois, determinar as dimensões da seção transversal dela com base nos valores fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são as tensões de cisalhamento (
) e normal (
) na viga. Quando uma força é aplicada, a viga sofre deformações internas que geram essas tensões. A tensão normal máxima ocorre no centro da viga e está relacionada à flexão, enquanto a tensão de cisalhamento máxima também ocorre perto do centro e está ligada ao esforço cortante.
Passo 3
Vamos começar pela parte (a), que pede para mostrar que a relação
é igual a
. Para isso, precisamos expressar
e
em termos das dimensões da viga e das forças aplicadas.
Passo 4
A tensão normal máxima
pode ser calculada usando a fórmula da flexão:
Onde:
-
é o momento fletor máximo -
é a distância do centro até a fibra mais afastada (metade da altura, ) -
é o momento de inércia da seção transversal
Passo 5
Para uma viga retangular, o momento de inércia
é dado por:
Onde
é a largura da viga e
é a altura.
Passo 6
O momento fletor máximo
em uma viga bi-apoiada com carga central
é:
Passo 7
Substituindo
e
na fórmula da tensão normal:
Passo 8
Agora, vamos calcular a tensão de cisalhamento máxima
. Para uma viga retangular, ela é dada por:
Onde:
-
é o esforço cortante máximo (igual a para essa configuração) -
é a área da seção transversal ( )
Passo 9
Substituindo
e
na fórmula da tensão de cisalhamento:
Passo 10
Agora, vamos achar a razão
:
E assim, mostramos que
.
Passo 11
Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos determinar a altura
e a largura
da viga, sabendo que
,
,
e
.
Passo 12
Vamos usar a relação que encontramos:
Simplificando:
Passo 13
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a fórmula da tensão normal:
Simplificando:
Resposta
A altura da viga
é de 8 cm e a largura
é de aproximadamente 1,56 cm.
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) suportam uma carga
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e
tem uma área de seção transversal de
e a barra
tem uma área de seção transversal de
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e
, determine as tensões normais induzidas no aço e no concreto por um aumento de temperatura de
.
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a) as tensões agindo em um elemento inclinado de um ângulo no sentido horário;
a) as tensões agindo em um elemento inclinado de um ângulo
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