Uma viga de madeira de comprimento e seção transversal retangular suporta uma única força concentrada em seu ponto médio C. (a) Mostre que a relação dos valores máximos das tensões de cisalhamento e normal na viga é igual a , em que e são, respectivamente, a altura e o comprimento da viga. (b) Determine a altura e a largura da viga, sabendo que 960 kPa e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma viga de madeira, com comprimento e seção transversal retangular, que está apoiada nas extremidades e . No ponto médio , ela suporta uma força concentrada . A matéria que vamos usar aqui é a de Mecânica dos Materiais, especificamente sobre as tensões na viga. Precisamos relacionar as tensões de cisalhamento e normal máximas nessa viga e, depois, determinar as dimensões da seção transversal dela com base nos valores fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as tensões de cisalhamento ( ) e normal ( ) na viga. Quando uma força é aplicada, a viga sofre deformações internas que geram essas tensões. A tensão normal máxima ocorre no centro da viga e está relacionada à flexão, enquanto a tensão de cisalhamento máxima também ocorre perto do centro e está ligada ao esforço cortante.

Passo 3

Vamos começar pela parte (a), que pede para mostrar que a relação é igual a . Para isso, precisamos expressar e em termos das dimensões da viga e das forças aplicadas.

Passo 4

A tensão normal máxima pode ser calculada usando a fórmula da flexão:
Onde:
  • é o momento fletor máximo
  • é a distância do centro até a fibra mais afastada (metade da altura, )
  • é o momento de inércia da seção transversal

Passo 5

Para uma viga retangular, o momento de inércia é dado por:
Onde é a largura da viga e é a altura.

Passo 6

O momento fletor máximo em uma viga bi-apoiada com carga central é:

Passo 7

Substituindo e na fórmula da tensão normal:

Passo 8

Agora, vamos calcular a tensão de cisalhamento máxima . Para uma viga retangular, ela é dada por:
Onde:
  • é o esforço cortante máximo (igual a para essa configuração)
  • é a área da seção transversal ( )

Passo 9

Substituindo e na fórmula da tensão de cisalhamento:

Passo 10

Agora, vamos achar a razão :
E assim, mostramos que .

Passo 11

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos determinar a altura e a largura da viga, sabendo que , , e .

Passo 12

Vamos usar a relação que encontramos:
Simplificando:

Passo 13

Agora que temos , vamos encontrar usando a fórmula da tensão normal:
Simplificando:

Resposta

A altura da viga é de 8 cm e a largura é de aproximadamente 1,56 cm.

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