Uma viga de madeira A B de comprimento L e seção transversal retangular suporta uma única força concentrada P em seu ponto médio C. (a) Mostre que a relação taum / sigmam dos valores máximos das tensões de cisalhamento e normal na viga é igual a 2 h / L, em que h e L são, respectivamente, a altura e o comprimento da viga. (b) Determine a altura h e a largura b da viga, sabendo que L=2 m, P=40 kN, taum= 960 kPa e sigmam=12 MPa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma viga de madeira, com comprimento e seção transversal retangular, que está apoiada nas extremidades e . No ponto médio , ela suporta uma força concentrada . A matéria que vamos usar aqui é a de Mecânica dos Materiais, especificamente sobre as tensões na viga. Precisamos relacionar as tensões de cisalhamento e normal máximas nessa viga e, depois, determinar as dimensões da seção transversal dela com base nos valores fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as tensões de cisalhamento ( ) e normal ( ) na viga. Quando uma força é aplicada, a viga sofre deformações internas que geram essas tensões. A tensão normal máxima ocorre no centro da viga e está relacionada à flexão, enquanto a tensão de cisalhamento máxima também ocorre perto do centro e está ligada ao esforço cortante.

Passo 3

Vamos começar pela parte (a), que pede para mostrar que a relação é igual a . Para isso, precisamos expressar e em termos das dimensões da viga e das forças aplicadas.

Passo 4

A tensão normal máxima sigmam = M cdot cI pode ser calculada usando a fórmula da flexão:
Onde:
  • é o momento fletor máximo
  • é a distância do centro até a fibra mais afastada (metade da altura, )
  • é o momento de inércia da seção transversal

Passo 5

Para uma viga retangular, o momento de inércia I = b cdot h^312 é dado por:
Onde é a largura da viga e é a altura.

Passo 6

O momento fletor máximo M = P cdot L4 em uma viga bi-apoiada com carga central é:

Passo 7

Substituindo sigmam = ( P cdot L4 ) cdot h2b cdot h^312 = 3P cdot L2b cdot h^2 e na fórmula da tensão normal:

Passo 8

Agora, vamos calcular a tensão de cisalhamento máxima taum = 3V2A . Para uma viga retangular, ela é dada por:
Onde:
  • é o esforço cortante máximo (igual a para essa configuração)
  • é a área da seção transversal ( )

Passo 9

Substituindo taum = 3 cdot P22 cdot b cdot h = 3P4b cdot h e na fórmula da tensão de cisalhamento:

Passo 10

Agora, vamos achar a razão taumsigmam = 3P4b cdot h3P cdot L2b cdot h^2 = 2hL :
E assim, mostramos que .

Passo 11

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos determinar a altura e a largura da viga, sabendo que , , e .

Passo 12

Vamos usar a relação que encontramos:
taumsigmam = 2hL Rightarrow 960 times 10^312 times 10^6 = 2h2
Simplificando:
960 times 10^312 times 10^6 = h Rightarrow h = 960 times 10^312 times 10^6 = 0,08 m = 8 cm

Passo 13

Agora que temos sigmam = 3P cdot L2b cdot h^2 Rightarrow 12 times 10^6 = 3 cdot 40 times 10^3 cdot 22b cdot (0,08)^2 , vamos encontrar 12 times 10^6 = 240 times 10^32b cdot 0,0064 Rightarrow 12 times 10^6 = 240 times 10^30,0128b usando a fórmula da tensão normal:
12 times 10^6 cdot 0,0128b = 240 times 10^3 Rightarrow 153600b = 240 times 10^3
Simplificando:
b = 240 times 10^3153600 = 1,5625 m = 1,56 cm

Resposta

A altura da viga é de 8 cm e a largura é de aproximadamente 1,56 cm.

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