A viga rígida é suportada pelos três postes
, de comprimento iguais. Os postes A e C tem diâmetro de 75 mm e são feitos de alumínio, para o qual
GPa e
. O poste B tem diâmetro de 20 mm e é feito de latão, para o qual
e
. Determinar a menor intensidade de
de modo que (a) somente os postes A e C escoem e (b) todos os postes escoem.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos uma viga rígida apoiada por três postes (A, B e C) de comprimentos iguais. Os postes A e C são de alumínio com diâmetro de 75 mm, enquanto o poste B é de latão com diâmetro de 20 mm. Cada material tem seu módulo de elasticidade (
) e tensão de elasticidade (
) específicos. Precisamos encontrar a menor força
que faz com que:
(a) Apenas os postes A e C escoem (ou seja, atinjam a tensão de elasticidade).
(b) Todos os três postes A, B e C escoem.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de tensão axial, área de seção transversal dos postes e as propriedades dos materiais envolvidos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiramente, vamos entender que “escoar” significa que os postes atingiram sua tensão de elasticidade máxima (
). A tensão axial (
) em um poste é dada por:
Onde:
-
é a força axial aplicada. -
é a área da seção transversal do poste.
Para encontrar a menor força
que faz os postes escoarem, precisamos calcular a área dos postes e relacionar com suas tensões de elasticidade.
Passo 3
Vamos calcular a área da seção transversal dos postes A, B e C. Como todos são circulares, a área (
) é dada por:
Onde
é o diâmetro do poste.
Calculando para cada poste:
- Postes A e C (Alumínio,
mm):
- Poste B (Latão,
mm):
Passo 4
Agora, vamos abordar o item (a): encontrar a menor força
para que apenas os postes A e C escoem.
Isso significa que os postes A e C atingem
, enquanto o poste B ainda está dentro do limite.
Como os postes A e C são iguais, cada um suportará metade da força aplicada
.
Então, a tensão em cada poste A ou C será:
Queremos que
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos para o item (b): encontrar a menor força
para que todos os três postes A, B e C escoem.
Isso significa que todos os postes atingem suas respectivas tensões de elasticidade:
- Para A e C:
- Para B:
Vamos distribuir a força
entre os três postes considerando suas áreas e tensões de elasticidade.
A tensão em cada poste é:
Onde
é a força no poste
.
Queremos que:
Como os postes A e C são iguais,
.
Então, a força total
é:
Substituindo as expressões para
e
:
Substituindo os valores das áreas:
Resposta
(a) A menor intensidade de
para que somente os postes A e C escoem é aproximadamente
.
(b) A menor intensidade de
para que todos os postes A, B e C escoem é aproximadamente
.
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) e tem área de seção transversal de
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