A viga rígida é suportada pelos três postes A, B, eC, de comprimento iguais. Os postes A e C tem diâmetro de 75 mm e são feitos de alumínio, para o qual Eal=70 GPa e (sigmaE)al=20 MPa. O poste B tem diâmetro de 20 mm e é feito de latão, para o qual E latão =100 GPaã e (sigmaE) latão =590 MPaã. Determinar a menor intensidade de P de modo que (a) somente os postes A e C escoem e (b) todos os postes escoem.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos uma viga rígida apoiada por três postes (A, B e C) de comprimentos iguais. Os postes A e C são de alumínio com diâmetro de 75 mm, enquanto o poste B é de latão com diâmetro de 20 mm. Cada material tem seu módulo de elasticidade ( E) e tensão de elasticidade ( sigmaE) específicos. Precisamos encontrar a menor força P que faz com que:
(a) Apenas os postes A e C escoem (ou seja, atinjam a tensão de elasticidade).
(b) Todos os três postes A, B e C escoem.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de tensão axial, área de seção transversal dos postes e as propriedades dos materiais envolvidos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiramente, vamos entender que “escoar” significa que os postes atingiram sua tensão de elasticidade máxima ( sigmaE). A tensão axial ( sigma) em um poste é dada por:
sigma = PA
Onde:
  • P é a força axial aplicada.
  • A é a área da seção transversal do poste.
Para encontrar a menor força P que faz os postes escoarem, precisamos calcular a área dos postes e relacionar com suas tensões de elasticidade.

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal dos postes A, B e C. Como todos são circulares, a área ( A) é dada por:
A = pi (d2)^2
Onde d é o diâmetro do poste.
Calculando para cada poste:
  • Postes A e C (Alumínio, d = 75 mm):
AAC = pi (752)^2 = pi times 37.5^2 approx pi times 1406.25 approx 4420 , mm^2
  • Poste B (Latão, d = 20 mm):
AB = pi (202)^2 = pi times 10^2 approx pi times 100 approx 314 , mm^2

Passo 4

Agora, vamos abordar o item (a): encontrar a menor força P para que apenas os postes A e C escoem.
Isso significa que os postes A e C atingem sigmaEal = 20 , MPa, enquanto o poste B ainda está dentro do limite.
Como os postes A e C são iguais, cada um suportará metade da força aplicada P.
Então, a tensão em cada poste A ou C será:
sigmaAC = P/2AAC
Queremos que sigmaAC = 20 , MPa:
20 times 10^6 = P/24420 times 10^-6
Resolvendo para P:
P = 2 times 20 times 10^6 times 4420 times 10^-6 = 2 times 20 times 4420 approx 176800 , N

Passo 5

Agora, vamos para o item (b): encontrar a menor força P para que todos os três postes A, B e C escoem.
Isso significa que todos os postes atingem suas respectivas tensões de elasticidade:
  • Para A e C: sigmaEal = 20 , MPa
  • Para B: sigmaElatão = 590 , MPaã
Vamos distribuir a força P entre os três postes considerando suas áreas e tensões de elasticidade.
A tensão em cada poste é:
sigma = PiAi
Onde Pi é a força no poste i.
Queremos que:
PACAAC = 20 times 10^6 PBAB = 590 times 10^6
Como os postes A e C são iguais, PA = PC = PAC.
Então, a força total P é:
P = PA + PC + PB = 2PAC + PB
Substituindo as expressões para PAC e PB:
P = 2 times (20 times 10^6 times AAC) + (590 times 10^6 times AB)
Substituindo os valores das áreas:
P = 2 times (20 times 10^6 times 4420 times 10^-6) + (590 times 10^6 times 314 times 10^-6) P = 2 times (20 times 4420 times 10^0) + (590 times 314 times 10^0) P = 2 times 88,400 + 185,260 P = 176,800 + 185,260 approx 362,060 , N

Resposta

(a) A menor intensidade de P para que somente os postes A e C escoem é aproximadamente 176,!800 , N.
(b) A menor intensidade de P para que todos os postes A, B e C escoem é aproximadamente 362,!060 , N.

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