A viga rígida é suportada pelos três postes , de comprimento iguais. Os postes A e C tem diâmetro de 75 mm e são feitos de alumínio, para o qual GPa e . O poste B tem diâmetro de 20 mm e é feito de latão, para o qual ã e ã. Determinar a menor intensidade de de modo que (a) somente os postes A e C escoem e (b) todos os postes escoem.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos uma viga rígida apoiada por três postes (A, B e C) de comprimentos iguais. Os postes A e C são de alumínio com diâmetro de 75 mm, enquanto o poste B é de latão com diâmetro de 20 mm. Cada material tem seu módulo de elasticidade ( ) e tensão de elasticidade ( ) específicos. Precisamos encontrar a menor força que faz com que:
(a) Apenas os postes A e C escoem (ou seja, atinjam a tensão de elasticidade).
(b) Todos os três postes A, B e C escoem.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de tensão axial, área de seção transversal dos postes e as propriedades dos materiais envolvidos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiramente, vamos entender que “escoar” significa que os postes atingiram sua tensão de elasticidade máxima ( ). A tensão axial ( ) em um poste é dada por:
Onde:
  • é a força axial aplicada.
  • é a área da seção transversal do poste.
Para encontrar a menor força que faz os postes escoarem, precisamos calcular a área dos postes e relacionar com suas tensões de elasticidade.

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal dos postes A, B e C. Como todos são circulares, a área ( ) é dada por:
Onde é o diâmetro do poste.
Calculando para cada poste:
  • Postes A e C (Alumínio, mm):
  • Poste B (Latão, mm):

Passo 4

Agora, vamos abordar o item (a): encontrar a menor força para que apenas os postes A e C escoem.
Isso significa que os postes A e C atingem , enquanto o poste B ainda está dentro do limite.
Como os postes A e C são iguais, cada um suportará metade da força aplicada .
Então, a tensão em cada poste A ou C será:
Queremos que :
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos para o item (b): encontrar a menor força para que todos os três postes A, B e C escoem.
Isso significa que todos os postes atingem suas respectivas tensões de elasticidade:
  • Para A e C:
  • Para B: ã
Vamos distribuir a força entre os três postes considerando suas áreas e tensões de elasticidade.
A tensão em cada poste é:
Onde é a força no poste .
Queremos que:
Como os postes A e C são iguais, .
Então, a força total é:
Substituindo as expressões para e :
Substituindo os valores das áreas:

Resposta

(a) A menor intensidade de para que somente os postes A e C escoem é aproximadamente .
(b) A menor intensidade de para que todos os postes A, B e C escoem é aproximadamente .

Exercícios relacionados

A barra BD é feita de latão ( ) e tem área de seção transversal de . A barra CE é feita de alumínio (E=72 GPa) e tem área da seção transversal de . Sabendo que suportam o elemento ABC , determinar a força máxima P que pode ser aplicada verticalmente no ponto A se a deflexão de A não exceder a .
Uma força de tração de 2669 N é aplicada a um corpo de prova feito de placa de aço plana de . Determine a variação resultante (a) no comprimento de referência de 50,8 mm, (b) na largura da parte do corpo de prova, © na espessura da parte e (d) na área da seção transversal da parte .
Para arrancar o prego em , a força exercida sobre o cabo do martelo precisa produzir um momento no sentido horário de em relação ao ponto . Determine a intensidade necessária da força .
O cursor é ligado a uma carga de massa e pode deslizar sem atrito sobre a barra horizontal. Determine a intensidade da força para que haja equilíbrio do cursor em uma posição arbitrária .