Uma viga transmite, na sua seção crítica, um momento fletor M=20000 Nm. O projeto original empregava apenas Titânio (Ti-6Al-SV), gerando uma tensão máxima/mínima de 240 MPa . Deseja-se reduzir o uso do Titánico através do uso de uma seção transversal composta de uma lâmina de Titânio e um perfil de Alumínio 2014. A altura e largura (50 times 100 mm ) não deve ser alterada. (a) Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma viga que está passando um momento fletor de M = 20000 Nm. Originalmente, essa viga era feita só de Titânio (Ti-6Al-SV) e isso fazia com que a tensão máxima/mínima fosse de 240 MPa. Agora, a ideia é usar menos titânio e complementar com Alumínio 2014, mantendo a altura e largura da seção transversal (50 × 100 mm) iguais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de resistência dos materiais, especificamente sobre como calcular tensões em seções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a tensão em uma viga submetida a um momento fletor é calculada. A fórmula básica é:
sigma = M cdot yI
Onde:
  • sigma é a tensão,
  • M é o momento fletor,
  • y é a distância do ponto onde queremos calcular a tensão até o eixo neutro,
  • I é o momento de inércia da seção transversal.
Como a viga agora será composta de titânio e alumínio, precisamos considerar o módulo de elasticidade de cada material para encontrar o eixo neutro da seção composta.

Passo 3

Vamos considerar que a seção transversal é retangular, com altura h = 50 mm e largura b = 100 mm. A seção será composta por uma lâmina de titânio e um perfil de alumínio. Precisamos calcular o momento de inércia combinado dessas duas partes.
Primeiro, encontraremos o momento de inércia de cada material individualmente. Para uma seção retangular, o momento de inércia é:
I = b cdot h^312
Para o Titânio:
ITi = 100 cdot 50^312 = 100 cdot 12500012 = 1250000012 approx 1041666.67 mm^4
Para o Alumínio:
IAl = 100 cdot 50^312 = 100 cdot 12500012 = 1250000012 approx 1041666.67 mm^4

Passo 4

Agora, precisamos ajustar esses momentos de inércia considerando os diferentes módulos de elasticidade dos materiais. Isso é feito usando o razo de modular, que é a razão entre o módulo de elasticidade do alumínio ( EAl) e do titânio ( ETi).
n = EAlETi
Supondo que:
  • ETi = 110 GPa
  • EAl = 70 GPa
Então,
n = 70110 approx 0.636

Passo 5

Com o valor de n, ajustamos o momento de inércia do alumínio:
IAl' = n cdot IAl = 0.636 cdot 1041666.67 approx 662500 mm^4
Agora, somamos os momentos de inércia ajustados para obter o momento de inércia total da seção composta:
Itotal = ITi + IAl' = 1041666.67 + 662500 approx 1704166.67 mm^4

Passo 6

Com o momento de inércia total, podemos calcular a tensão máxima na seção composta usando a fórmula da tensão:
sigma = M cdot yItotal
Onde:
  • M = 20000 Nm = 20000 times 10^3 Nmm
  • y = h2 = 25 mm
  • Itotal approx 1704166.67 mm^4
Substituindo os valores:
sigma = 20000 times 10^3 cdot 251704166.67 approx 5000000001704166.67 approx 293.65 MPa

Resposta

A tensão máxima na seção composta da viga é aproximadamente 293.65 MPa.

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