O sistema de transmissão abaixo alimenta uma ferramenta de corte com um motor de 2000 W que gira a 1770 rpm . A relação de transmissão das polias é 3: 1. Sabendo que os dois eixos (A e B) possuem o mesmo comprimento L=300 mm e um diâmetro d=12 mm, calcule quantos graus o motor deve girar numa reversão até que a ferramenta entre em regime de operação no sentido oposto. Use G=80 GPa

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema de transmissão que alimenta uma ferramenta de corte com um motor de 2000 W girando a 1770 rpm. A transmissão usa polias com uma relação de 3:1. Os eixos A e B têm o mesmo comprimento de 300 mm e diâmetro de 12 mm. A gente precisa descobrir quantos graus o motor precisa girar para que, numa reversão, a ferramenta comece a funcionar na direção oposta. Vamos usar o módulo de cisalhamento . Para resolver isso, vamos precisar entender de transmissão de potência, torque, e a teoria das torções nos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o torque ( P = T times omega ) que o motor está gerando. Sabemos que potência ( omega = 2pi times rpm60 ) e velocidade angular ( omega = 2pi times 177060 approx 185 , rad/s ) estão relacionadas pela fórmula:
Mas precisamos converter a velocidade do motor de rpm para radianos por segundo. Sabemos que:
Então, substituindo os valores:

Passo 3

Agora, usando a fórmula da potência, podemos resolver para o torque:
T = Pomega
Substituindo os valores:
T = 2000185 approx 10,81 , N·m

Passo 4

Como a relação de transmissão das polias é de 3:1, isso significa que o torque no eixo de saída será três vezes o torque no eixo de entrada. Então, o torque na ferramenta ( Tferramenta = 3 times T = 3 times 10,81 approx 32,43 , N·m ) é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o ângulo de torção ( theta = T times LG times J ) necessário para reverter a direção da ferramenta. A fórmula para o ângulo de torção é:
J = pi times d^432
Onde:
  • J = pi times (0,012)^432 approx 1,62 times 10^-6 , m^4 é o torque,
  • é o comprimento do eixo,
  • é o módulo de cisalhamento,
  • é o momento polar de inércia da seção circular, que para um eixo circular é:
Calculando :

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do ângulo de torção:
theta = 32,43 times 0,380 times 10^9 times 1,62 times 10^-6 approx 9,729129,6 times 10^-3 approx 7,51 times 10^-5 , rad
Convertendo para graus (sabendo que theta approx 7,51 times 10^-5 times 57,2958 approx 0,0043^circ ):

Resposta

O motor precisa girar aproximadamente para que a ferramenta inverta sua direção de operação.

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