Você aprendeu que a matriz transposta é obtida trocando ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz original. Seja a matriz A=(aij)2x3 em que aij=3-2j. Que alternativa representa a matriz At?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a matriz transposta. Temos uma matriz A de dimensão 2x3, onde cada elemento $ a_{ij} = 3 - 2j $. Nosso objetivo é encontrar a matriz transposta $ A^{\mathrm{T}} $. Para isso, vamos precisar entender como montar a matriz original e, em seguida, como trocar linhas por colunas.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz A. Como $ A $ é 2x3, ela tem 2 linhas e 3 colunas. A fórmula dada é $ a_{ij} = 3 - 2j $.
Para a primeira linha ($ i = 1 $):
- $ a_{11} = 3 - 2(1) = 1 $
- $ a_{12} = 3 - 2(2) = -1 $
- $ a_{13} = 3 - 2(3) = -3 $
Para a segunda linha ($ i = 2 $):
- $ a_{21} = 3 - 2(1) = 1 $
- $ a_{22} = 3 - 2(2) = -1 $
- $ a_{23} = 3 - 2(3) = -3 $
Então, a matriz $ A $ fica assim:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a matriz transposta $ A^{\mathrm{T}} $. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Como $ A $ é 2x3, $ A^{\mathrm{T}} $ será 3x2.
Vamos fazer a troca:
- A primeira linha de $ A $
vira a primeira coluna de $ A^{\mathrm{T}} $: - A segunda linha de $ A $
vira a segunda coluna de $ A^{\mathrm{T}} $: - A terceira linha de $ A $
vira a terceira coluna de $ A^{\mathrm{T}} $:
Então, a matriz transposta $ A^{\mathrm{T}} $ fica assim:
Resposta
A matriz transposta $ A^{\mathrm{T}} $ é: