Você é engenheiro em uma empresa que possui um tanque de armazenamento esférico, contendo óleo. Esse tanque tem um diâmetro de 6 ft. Você deve determinar a altura, h, até a qual uma vareta de 8 ft de comprimento ficaria molhada com óleo quando imersa no tanque, quando esse contém 4 ft3 de óleo.
​A equação que fornece a altura, h, do líquido no tanque esférico para determinado volume e raio é dada por:f(h) = h3 - 9h2 + 3,8197 = 0.
Use o método da bissecção para encontrar as raízes de equações para encontrar a altura, h, que representa a altura em que essa vareta está molhada com óleo. Conduza três iterações para estimar a raiz da equação anterior. Dica: pela física do problema, a vareta estaria molhada entre o intervalo de h = 0 e h = diâmetro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de engenharia onde precisamos encontrar a altura $ h $ até onde uma vareta de 8 pés fica molhada com óleo dentro de um tanque esférico. O tanque tem um diâmetro de 6 pés, ou seja, raio de 3 pés. Sabemos que há 4 pés cúbicos de óleo no tanque. Para resolver isso, vamos usar o método da bissecção, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Precisamos fazer três iterações desse método para aproximar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
f(h) = h^3 - 9h^2 + 3,8197 = 0
O método da bissecção requer que a função mude de sinal no intervalo onde buscamos a raiz. Nosso intervalo inicial é de $ h = 0 $ a $ h = 6 $ pés.
  1. Calcular $ f(0) $:
    h = 0
  2. Calcular $ f(6) $:
    h = 6
Como $ f(0) $ é positivo e $ f(6) $ é negativo, sabemos que a raiz está entre 0 e 6.
Agora, encontramos o ponto médio $ c $:
f(0)
Calcular $ f(3) $:
f(0) = 0^3 - 9 times 0^2 + 3,8197 = 3,8197
Como $ f(3) $ é negativo e $ f(0) $ é positivo, a raiz está entre 0 e 3.

Passo 3

Agora, nosso novo intervalo é de $ h = 0 $ a $ h = 3 $.
  1. Calcular o novo ponto médio $ c $:
    h = 0
  2. Calcular $ f(1,5) $:
    h = 3
Como $ f(1,5) $ é negativo e $ f(0) $ é positivo, a raiz ainda está entre 0 e 1,5.

Passo 4

Agora, estabelecemos o intervalo de $ h = 0 $ a $ h = 1,5 $.
  1. Calcular o novo ponto médio $ c $:
    h = 0
  2. Calcular $ f(0,75) $:
    h = 1,5
Como $ f(0,75) $ é negativo e $ f(0) $ é positivo, a raiz está entre 0 e 0,75.

Resposta

Após três iterações do método da bissecção, estimamos que a altura $ h $ até onde a vareta de 8 pés fica molhada com óleo é aproximadamente 0,75 pés.

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