Uma fábrica de faróis para carros está reformulando o formato de um dos seus modelos. Com a reformulação, o novo modelo de faróis tem o mesmo volume de um sólido que está sob o parabolide z=x²+y², acima do plano xy e dentro do cilindro x²+y²=2x, em que as unidades de medida estão em centímetros. Na propaganda, a fábrica anunciou que esse novo modelo possui aproximadamente 4,7 cm³ de volume. Utilizando π=3,14, resolva as equações e justifique as respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular o volume de um sólido que está por baixo da parabolóide $ z = x^2 + y^2 $, acima do plano $ xy $ e dentro do cilindro $ x^2 + y^2 = 2x $. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de volumes usando integrais duplas, e para facilitar, vamos usar coordenadas polares. Vamos precisar entender um pouquinho sobre coordenadas polares e como configurar a integral para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. Temos o cilindro $ x^2 + y^2 = 2x $. Para facilitar, vamos reescrever essa equação completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio 1, centrado no ponto (1, 0) no plano $ xy $.
Passo 3
Agora, vamos passar para as coordenadas polares, que são mais fáceis para essa região circular. Nas coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação do cilindro:
Expandindo e simplificando:
Então, $ r = 0 $ ou $ r = 2 \cos \theta $. Ignoramos $ r = 0 $ porque representa apenas o ponto central. Assim, a região está limitada por $ r = 2 \cos \theta $.
Passo 4
Para calcular o volume, usamos a integral dupla da função $ z = x^2 + y^2 $ sobre a região que encontramos. Em coordenadas polares, $ z = r^2 $. A área diferencial em polares é $ dA = r , dr , d\theta $.
Então, a integral para o volume fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ r $:
Agora, a integral do volume fica:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Então, a integral total é:
Passo 6
Agora, substituímos $ \pi = 3,14 $ na expressão:
Resposta
O volume do novo modelo de faróis é aproximadamente 4,71 cm³.