Uma fábrica de faróis para carros está reformulando o formato de um dos seus modelos. Com a reformulação, o novo modelo de faróis tem o mesmo volume de um sólido que está sob o parabolide z=x²+y², acima do plano xy e dentro do cilindro x²+y²=2x, em que as unidades de medida estão em centímetros. Na propaganda, a fábrica anunciou que esse novo modelo possui aproximadamente 4,7 cm³ de volume. Utilizando π=3,14, resolva as equações e justifique as respostas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular o volume de um sólido que está por baixo da parabolóide $ z = x^2 + y^2 $, acima do plano $ xy $ e dentro do cilindro $ x^2 + y^2 = 2x $. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de volumes usando integrais duplas, e para facilitar, vamos usar coordenadas polares. Vamos precisar entender um pouquinho sobre coordenadas polares e como configurar a integral para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. Temos o cilindro $ x^2 + y^2 = 2x $. Para facilitar, vamos reescrever essa equação completando o quadrado:
x^2 + y^2 = 2x
Isso representa um círculo de raio 1, centrado no ponto (1, 0) no plano $ xy $.

Passo 3

Agora, vamos passar para as coordenadas polares, que são mais fáceis para essa região circular. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos theta y = r sin theta
Substituindo na equação do cilindro:
(r cos theta - 1)^2 + (r sin theta)^2 = 1
Expandindo e simplificando:
r^2 cos^2 theta - 2r cos theta + 1 + r^2 sin^2 theta = 1 r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) - 2r cos theta + 1 = 1 r^2 - 2r cos theta = 0 r (r - 2 cos theta) = 0
Então, $ r = 0 $ ou $ r = 2 \cos \theta $. Ignoramos $ r = 0 $ porque representa apenas o ponto central. Assim, a região está limitada por $ r = 2 \cos \theta $.

Passo 4

Para calcular o volume, usamos a integral dupla da função $ z = x^2 + y^2 $ sobre a região que encontramos. Em coordenadas polares, $ z = r^2 $. A área diferencial em polares é $ dA = r , dr , d\theta $.
Então, a integral para o volume fica:
z = x^2 + y^2

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ r $:
r
Agora, a integral do volume fica:
integral0^2 cos theta r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 cos theta = (2 cos theta)^44 - 0 = 16 cos^4 theta4 = 4 cos^4 theta
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
V = integral-pi2^pi2 4 cos^4 theta , dtheta
Substituindo na integral:
cos^4 theta = 3 + 4 cos 2theta + cos 4theta8
Integrando termo a termo:
V = 4 integral-pi2^pi2 3 + 4 cos 2theta + cos 4theta8 , dtheta = 48 integral-pi2^pi2 (3 + 4 cos 2theta + cos 4theta) , dtheta = 12 integral-pi2^pi2 (3 + 4 cos 2theta + cos 4theta) , dtheta
integral-pi2^pi2 3 , dtheta = 3 theta |-pi2^pi2 = 3(pi2 - (-pi2)) = 3pi
integral-pi2^pi2 4 cos 2theta , dtheta = 4 cdot sin 2theta2 |-pi2^pi2 = 2 (sin pi - sin (-pi)) = 0
Então, a integral total é:
integral-pi2^pi2 cos 4theta , dtheta = sin 4theta4 |-pi2^pi2 = sin 2pi - sin (-2pi)4 = 0

Passo 6

Agora, substituímos $ \pi = 3,14 $ na expressão:
pi = 3,14

Resposta

O volume do novo modelo de faróis é aproximadamente 4,71 cm³.

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