A trajetória de uma bola de futebol em uma cobrança de falta foi descrita por uma função quadrática que relaciona a altura (h) alcançada pela bola, em relaço ao solo, e o deslocamento horizontal x da bola, sendo h e x dados em metro. Essa função é expressa por h(x) = - x²|60 (fração) + 0,5x.
a) qual e a distancia entre o ponto em que a bola sai do solo e o ponto em que a bola chega ao solo?
b) qual e a altura maxima atingida pela bola nessa trajetoria?
a) qual e a distancia entre o ponto em que a bola sai do solo e o ponto em que a bola chega ao solo?
b) qual e a altura maxima atingida pela bola nessa trajetoria?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com uma função quadrática que descreve a trajetória de uma bola de futebol durante uma cobrança de falta. O objetivo é descobrir duas coisas:
a) A distância horizontal entre o ponto onde a bola sai do chão e onde ela volta a tocar o chão.
b) A altura máxima que a bola atinge nessa trajetória.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções quadráticas e entender um pouco sobre como elas descrevem trajetórias de objetos lançados, como a nossa bola de futebol.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): encontrar a distância entre o ponto de saída e o ponto de aterrissagem da bola.
A função que descreve a altura da bola em relação ao deslocamento horizontal é:
Aqui, $ h(x) $ representa a altura em metros da bola quando ela está a $ x $ metros horizontalmente do ponto de partida.
Para encontrar a distância onde a bola toca o chão novamente, precisamos encontrar o valor de $ x $ quando a altura $ h(x) $ é zero, ou seja, resolveremos a equação:
Passo 3
Vamos resolver a equação:
Primeiro, vamos multiplicar todos os termos por 60 para eliminar o denominador:
Agora, fatoramos $ x $:
Isso nos dá duas soluções:
- $ x = 0 $ (o ponto de partida)
- $ -x + 30 = 0 $ ⇒ $ x = 30 $
Passo 4
A solução $ x = 0 $ representa o ponto onde a bola foi lançada, então não nos interessa para a distância total. A outra solução, $ x = 30 $, é o ponto onde a bola retorna ao chão.
Portanto, a distância entre o ponto de saída e o ponto de aterrissagem é de 30 metros.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b): encontrar a altura máxima que a bola atinge.
A função quadrática que descreve a altura é:
Sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de $ x^2 $ é negativo), então a altura máxima ocorre no vértice da parábola.
A fórmula para encontrar a coordenada $ x $ do vértice de uma função quadrática $ ax^2 + bx + c $ é:
Passo 6
Identificando os coeficientes na nossa função:
Aplicando na fórmula:
Então, a coordenada $ x $ do vértice é 15 metros.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a altura máxima substituindo $ x = 15 $ na função $ h(x) $:
Portanto, a altura máxima que a bola atinge é de 3,75 metros.
Resposta
a) A distância entre o ponto de saída e de aterrissagem da bola é de 30 metros.
b) A altura máxima atingida pela bola nessa trajetória é de 3,75 metros.