Se você fizer um buraco em um recipiente cheio de gás, o gás começará a vazar. Neste problema você fará uma estimativa aproximada da taxa na qual o gás escapa por um buraco. (Este processo é chamado de efusão, pelo menos quando o buraco é suficientemente pequeno.)
d-) Calcule o tempo característico para um gás escapar de um recipiente de 1 litro perfurado por um furo de 1 mm^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o tempo característico para um gás escapar de um recipiente de 1 litro que tem um furo de 1 mm². Estamos lidando com o conceito de efusão, que é basicamente a passagem de gás por um furo bem pequeno. Para isso, vamos usar algumas fórmulas da física dos gases e entender como a área do furo e o volume do recipiente influenciam nesse tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o tempo característico. Ele representa o tempo estimado para que o gás escape significativamente do recipiente. Para calcular isso, precisamos relacionar o volume do recipiente com a área do furo e a velocidade média das moléculas do gás.

Passo 3

A velocidade média das moléculas de um gás pode ser calculada usando a seguinte fórmula da teoria cinética dos gases:
v = raiz3kTm
onde:
  • é a velocidade média das moléculas,
  • é a constante de Boltzmann ( ),
  • é a temperatura absoluta (em Kelvin),
  • é a massa de uma molécula do gás.

Passo 4

Para simplificar, vamos considerar que o tempo característico ( tau = VA cdot v ) pode ser estimado pela razão entre o volume do recipiente ( ) e o produto da área do furo ( ) com a velocidade média das moléculas ( ):

Passo 5

Vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos:
  • Volume
  • Área
  • Vamos assumir uma temperatura padrão de (aproximadamente 27°C)

Passo 6

Precisamos também saber a massa de uma molécula do gás ( m = 32 times 10^-3 , kg/mol6,022 times 10^23 , mol^-1 approx 5,31 times 10^-26 , kg ). Vamos supor que estamos lidando com gás oxigênio ( ), cuja massa molar é aproximadamente . A massa de uma molécula de é:

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade média das moléculas:
v = raiz3 times 1,38 times 10^-23 , J/K times 300 , K5,31 times 10^-26 , kg approx raiz1,242 times 10^-20 , J5,31 times 10^-26 , kg approx raiz2,34 times 10^5 , m^2/s^2 approx 484 , m/s

Passo 8

Com a velocidade média calculada, podemos encontrar o tempo característico:
tau = 1 times 10^-3 , m^31 times 10^-6 , m^2 times 484 , m/s = 1 times 10^-34,84 times 10^-4 approx 2,07 , segundos

Resposta

O tempo característico para o gás escapar do recipiente é aproximadamente 2 segundos.

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