Você precisa encaixar um colar de cobre firmemente em torno de um eixo de aço que tem um diâmetro de 6,0000 cm a 20^circ C. O diâmetro interno do colar nessa temperatura é 5,9800 cm. Calcule qual temperatura minima o colar de cobre deve ter para que ele deslize no eixo, assumindo que o eixo em si permaneça a 20^circ C ?
Dado: Coeficiente de expansão linear do cobre, alpha antre =17 times 10^-6 K^-1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um eixo de aço com diâmetro de 6,0000 cm a 20^circ C. Queremos colocar um colar de cobre ao redor desse eixo. O diâmetro interno do colar de cobre está um pouco menor, 5,9800 cm, na mesma temperatura. Precisamos descobrir qual a temperatura mínima que o colar de cobre deve alcançar para que ele se expanda o suficiente e deslize sobre o eixo de aço, que vai continuar a 20^circ C. Para resolver isso, vamos usar o conceito de expansão térmica linear.

Passo 2

Vamos lembrar como funciona a expansão térmica. Quando um material aquece, ele se expande. A mudança no comprimento (ou diâmetro, no nosso caso) pode ser calculada pela fórmula:
De
Onde:
  • De é a mudança no diâmetro,
  • alpha é o coeficiente de expansão linear do material,
  • D é o diâmetro inicial,
  • De é a mudança de temperatura.
No nosso caso, queremos que o diâmetro interno do colar de cobre aumente para pelo menos 6,0000 cm.

Passo 3

Vamos calcular a diferença que o diâmetro do colar precisa aumentar:
De
Então, o colar precisa aumentar seu diâmetro interno em 0,0200 cm para poder deslizar sobre o eixo.

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da expansão térmica para encontrar a mudança de temperatura necessária ( De):
De
Rearranjando para encontrar De:
De
Substituindo os valores:
De

Passo 5

Vamos calcular o valor de De:
De
Isso significa que a temperatura do colar de cobre precisa aumentar aproximadamente 196,53^circ C.

Passo 6

Finalmente, para encontrar a temperatura mínima que o colar de cobre deve atingir, somamos a mudança de temperatura à temperatura inicial:
Tmin = 20^circ C + 196,53^circ C approx 216,53^circ C

Resposta

A temperatura mínima que o colar de cobre deve ter para deslizar no eixo é aproximadamente 216,53^circ C.

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