Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Se for, encontre a solução. (3 x^2-2 x y+2)+(6 y^2-x^2+3) y^prime=0

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui: temos uma equação diferencial da forma (3 x^2-2 x y + 2) + (6 y^2-x^2+3) y' = 0. O objetivo é determinar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução. Nós estamos lidando com equações diferenciais, e uma equação é chamada de exata se pudermos escrever uma função F(x, y) cuja derivada em relação a x e y nos dê a equação original.

Passo 2

Para verificar se a equação é exata, precisamos identificar M(x, y) e N(x, y), onde M(x, y) = 3x^2 - 2xy + 2 e N(x, y) = 6y^2 - x^2 + 3. Uma equação diferencial é exata se a seguinte condição for satisfeita:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, vamos calcular partial Mpartial y e partial Npartial x.
  • Para M(x, y) = 3x^2 - 2xy + 2, derivando em relação a y temos:
partial Mpartial y = -2x
  • Agora, para N(x, y) = 6y^2 - x^2 + 3, derivando em relação a x temos:
partial Npartial x = -2x
No passo atual, notamos que partial Mpartial y = -2x e partial Npartial x = -2x. Como as duas derivadas são iguais, podemos concluir que a equação é exata!

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é exata, precisamos encontrar a função F(x, y) tal que partial Fpartial x = M(x, y) e partial Fpartial y = N(x, y). Começamos integrando M(x, y) em relação a x:
F(x, y) = integral (3x^2 - 2xy + 2) , dx
Integrando, obtemos:
F(x, y) = x^3 - x^2y + 2x + g(y)
onde g(y) é uma função que depende apenas de y e que vamos determinar agora. Para isso, vamos derivar F(x, y) em relação a y e igualar a N(x, y):
partial Fpartial y = -x^2 + g'(y)
Igualando a isso N(x, y) = 6y^2 - x^2 + 3, temos:
-x^2 + g'(y) = 6y^2 - x^2 + 3
Portanto:
g'(y) = 6y^2 + 3
Agora, integramos g'(y) em relação a y:
g(y) = 2y^3 + 3y + C
onde C é uma constante. Agora podemos substituir g(y) na função F(x, y):
F(x, y) = x^3 - x^2y + 2x + 2y^3 + 3y + C

Resposta

A solução da equação exata é dada por F(x, y) = k, onde k é uma constante. Portanto, a resposta final da solução da equação não é um valor numérico, mas sim a função implícita:
x^3 - x^2y + 2x + 2y^3 + 3y = C

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