Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Se for, encontre a solução.
Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui: temos uma equação diferencial da forma
. O objetivo é determinar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução. Nós estamos lidando com equações diferenciais, e uma equação é chamada de exata se pudermos escrever uma função
cuja derivada em relação a
e
nos dê a equação original.
Passo 2
Para verificar se a equação é exata, precisamos identificar
e
, onde
e
. Uma equação diferencial é exata se a seguinte condição for satisfeita:
Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, vamos calcular
e
.
- Para
, derivando em relação a temos:
- Agora, para
, derivando em relação a temos:
No passo atual, notamos que
e
. Como as duas derivadas são iguais, podemos concluir que a equação é exata!
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é exata, precisamos encontrar a função
tal que
e
. Começamos integrando
em relação a
:
Integrando, obtemos:
onde
é uma função que depende apenas de
e que vamos determinar agora. Para isso, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando a isso
, temos:
Portanto:
Agora, integramos
em relação a
:
onde
é uma constante. Agora podemos substituir
na função
:
Resposta
A solução da equação exata é dada por
, onde
é uma constante. Portanto, a resposta final da solução da equação não é um valor numérico, mas sim a função implícita: