Um volante girando livremente a 1800 rpm no sentido horário é submetido a um torque variável no sentido anti-horário que é aplicado pela primeira vez no instante t= 0 . O torque produz uma aceleração angular no sentido anti-horário alpha=4 t rad / s^2, onde t é o tempo em segundos durante o qual o torque é aplicado. Determine o tempo necessário para o volante reduzir a sua velocidade angular no sentido horário para 900 rpm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um volante girando a 1800 rpm no sentido horário e quer descobrir quanto tempo leva para essa velocidade diminuir para 900 rpm quando aplicamos um torque que faz o volante desacelerar no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cinemática rotacional e aceleração angular para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as unidades. As rotações por minuto (rpm) precisam ser convertidas para rad/s para facilitar os cálculos. A fórmula para converter é:
omega (rad/s) = omega (rpm) times 2pi60

Passo 3

Vamos converter a velocidade inicial e final:
  • Velocidade inicial ( omega0 = -1800 times 2pi60 = -60pi rad/s ) = 1800 rpm no sentido horário
omegaf = -900 times 2pi60 = -30pi rad/s
(O sinal negativo indica o sentido horário.)
  • Velocidade final ( ) = 900 rpm no sentido horário

Passo 4

Sabemos que a aceleração angular ( alpha = 4t rad/s^2 ) é dada por uma função do tempo:
A aceleração angular é anti-horária, então é positiva.

Passo 5

Para encontrar a variação da velocidade angular, integramos a aceleração em relação ao tempo:
De
Então, a velocidade final é:
omegaf = omega0 + 2t^2

Passo 6

Substituímos os valores de -30pi = -60pi + 2t^2 e na equação:
Agora, vamos resolver para .

Passo 7

Isolando 2t^2 = -30pi + 60pi = 30pi :
t^2 = 30pi2 = 15pi
Então:

Passo 8

Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar t = raiz15pi approx raiz47.1239 approx 6.86 segundos :

Resposta

O tempo necessário para o volante reduzir sua velocidade angular de 1800 rpm para 900 rpm no sentido horário é aproximadamente 6,86 segundos.

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