O volume de um gás ideal é simultaneamente em função da pressão e temperatura do gás. Escreva uma equação para a diferencial total de V . Usando a lei dos gases ideais para 1 mol de gás, , avalie as derivadas parciais na equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o volume ( ) de um gás ideal depende da pressão ( ) e da temperatura ( ). A gente precisa escrever uma equação para a diferencial total de , ou seja, como pequenas mudanças em e afetam . Para isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que é para 1 mol de gás. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma diferencial total. Quando temos uma função que depende de mais de uma variável, como , a diferencial total representa a mudança em quando e mudam um pouquinho. Matemáticamente, isso é escrito como:
Aqui, é a derivada parcial de em relação a , mantendo constante, e é a derivada parcial de em relação a , mantendo constante.

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei dos Gases Ideais para encontrar essas derivadas parciais. A lei é:
Como queremos expressar em função de e , podemos rearranjar a equação para:
Isso nos ajuda a calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Vamos calcular primeiro. Mantendo constante, derivamos em relação a :
Então, essa é a primeira derivada parcial.

Passo 5

Agora, vamos calcular . Mantendo constante, derivamos em relação a :
Essa é a segunda derivada parcial.

Resposta

Substituindo as derivadas parciais na equação da diferencial total, temos:
Ou seja, a diferencial total de em função de e é:

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Determine a área da região limitada pela rotação do círculo em torno do eixo , com .
A densidade de um gás ideal varia com a temperatura de acordo com a equação:
Em que p, M e R sâo constantes para este caso. Encontre uma expressão que descreve a variação de com T.
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Encontre esta diferença para um gás ideal.
Determine os pontos em que a sequência converge pontualmente.