O volume de um gás ideal é simultaneamente em função da pressão e temperatura do gás. Escreva uma equação para a diferencial total de V . Usando a lei dos gases ideais para 1 mol de gás,
, avalie as derivadas parciais na equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o volume (
) de um gás ideal depende da pressão (
) e da temperatura (
). A gente precisa escrever uma equação para a diferencial total de
, ou seja, como pequenas mudanças em
e
afetam
. Para isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que é
para 1 mol de gás. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma diferencial total. Quando temos uma função que depende de mais de uma variável, como
, a diferencial total
representa a mudança em
quando
e
mudam um pouquinho. Matemáticamente, isso é escrito como:
Aqui,
é a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
constante, e
é a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
constante.
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei dos Gases Ideais para encontrar essas derivadas parciais. A lei é:
Como queremos expressar
em função de
e
, podemos rearranjar a equação para:
Isso nos ajuda a calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Vamos calcular
primeiro. Mantendo
constante, derivamos
em relação a
:
Então, essa é a primeira derivada parcial.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Mantendo
constante, derivamos
em relação a
:
Essa é a segunda derivada parcial.
Resposta
Substituindo as derivadas parciais na equação da diferencial total, temos:
Ou seja, a diferencial total de
em função de
e
é:
Exercícios relacionados
Determine a área da região limitada pela rotação do círculo
em torno do eixo
, com
.
A densidade de um gás ideal varia com a temperatura de acordo com a equação:
Em que p, M e R sâo constantes para este caso. Encontre uma expressão que descreve a variação de
com T.
A diferença entre as capacidades calorificas é dada pela equaçăo abaixo:
Encontre esta diferença para um gás ideal.
Determine os pontos em que a sequência
converge pontualmente.