Determine a área da região limitada pela rotação do círculo em torno do eixo , com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a área da região que resulta da rotação do círculo em torno do eixo , onde . Aqui, estamos lidando com cálculo de áreas de superfícies de revolução, um tópico da geometria analítica e cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva em torno de um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o círculo representa. Esse é um círculo com centro no ponto e raio . Como , o centro está acima do eixo e o círculo não toca ou cruza o eixo.

Passo 3

Agora, quando rotacionamos esse círculo em torno do eixo , estamos basicamente girando o círculo 360 graus ao redor desse eixo. Isso cria uma superfície chamada toro, que se parece com uma dona ou um anel.

Passo 4

Para encontrar a área dessa superfície, usamos a fórmula da área de uma superfície de revolução em torno do eixo :
No entanto, como estamos lidando com um círculo, podemos simplificar o processo usando a fórmula específica para o toro.

Passo 5

A fórmula para a área de um toro é:
onde é a distância do centro do círculo ao eixo de rotação (neste caso, ) e é o raio do círculo que está sendo rotacionado (neste caso, ).

Passo 6

Substituindo e na fórmula, temos:
Isso nos dá a área da superfície do toro gerado pela rotação do círculo ao redor do eixo .

Resposta

A área da região limitada pela rotação do círculo em torno do eixo é .

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