Determine a área da região limitada pela rotação do círculo
em torno do eixo
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a área da região que resulta da rotação do círculo
em torno do eixo
, onde
. Aqui, estamos lidando com cálculo de áreas de superfícies de revolução, um tópico da geometria analítica e cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva em torno de um eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o círculo
representa. Esse é um círculo com centro no ponto
e raio
. Como
, o centro está acima do eixo
e o círculo não toca ou cruza o eixo.
Passo 3
Agora, quando rotacionamos esse círculo em torno do eixo
, estamos basicamente girando o círculo 360 graus ao redor desse eixo. Isso cria uma superfície chamada toro, que se parece com uma dona ou um anel.
Passo 4
Para encontrar a área dessa superfície, usamos a fórmula da área de uma superfície de revolução em torno do eixo
:
No entanto, como estamos lidando com um círculo, podemos simplificar o processo usando a fórmula específica para o toro.
Passo 5
A fórmula para a área de um toro é:
onde
é a distância do centro do círculo ao eixo de rotação (neste caso,
) e
é o raio do círculo que está sendo rotacionado (neste caso,
).
Passo 6
Substituindo
e
na fórmula, temos:
Isso nos dá a área da superfície do toro gerado pela rotação do círculo ao redor do eixo
.
Resposta
A área da região limitada pela rotação do círculo em torno do eixo
é
.
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