Ajuste os pontos acima por meio de funções dos tipos
usando o método dos mínimos quadrados e decida qual dos modelos melhor se ajusta aos dados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para ajustarmos alguns pontos usando três tipos de funções diferentes:
,
e
. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados. Esse método ajuda a encontrar a melhor curva que se encaixa nos dados, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função. Precisamos entender como aplicar esse método para cada tipo de função e depois comparar qual delas se ajusta melhor aos nossos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos mínimos quadrados. Imagina que você tem vários pontos no gráfico e quer desenhar uma linha (ou curva) que passe o mais próximo possível de todos eles. O método dos mínimos quadrados faz isso calculando a distância (erro) de cada ponto até a curva e somando o quadrado desses erros. A ideia é ajustar os parâmetros da função (neste caso,
e
) para que essa soma seja a menor possível. Assim, a curva escolhida será aquela que melhor representa os dados.
Passo 3
Vamos começar com a primeira função:
. Para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados
e os valores previstos pela função
. A equação que vamos minimizar é:
Para encontrar os valores de
e
que minimizam
, derivamos parcialmente essa soma em relação a
e
, igualamos a zero e resolvemos o sistema de equações resultante.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda função:
. O procedimento é similar. A função prevista é
, e a soma dos quadrados dos erros fica:
Mais uma vez, derivamos
em relação a
e
, igualamos as derivadas a zero e resolvemos para encontrar os melhores valores de
e
.
Passo 5
A terceira função que vamos considerar é
. A função prevista aqui é
, então a soma dos quadrados dos erros será:
Novamente, aplicamos o método dos mínimos quadrados: derivar
em relação a
e
, igualar a zero e resolver o sistema para encontrar os parâmetros que minimizam os erros.
Passo 6
Após calcular os valores de
e
para cada uma das três funções usando o método dos mínimos quadrados, comparamos as somas das diferenças ao quadrado (
) de cada modelo. O modelo que tiver o menor valor de
é o que melhor se ajusta aos dados fornecidos, já que representa a menor soma de erros quadráticos.
Resposta
Seguindo os passos acima, o modelo com a menor soma dos quadrados das diferenças
é o que melhor se ajusta aos dados fornecidos.