Ajuste os pontos acima por meio de funções dos tipos usando o método dos mínimos quadrados e decida qual dos modelos melhor se ajusta aos dados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para ajustarmos alguns pontos usando três tipos de funções diferentes: , e . Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados. Esse método ajuda a encontrar a melhor curva que se encaixa nos dados, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função. Precisamos entender como aplicar esse método para cada tipo de função e depois comparar qual delas se ajusta melhor aos nossos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos mínimos quadrados. Imagina que você tem vários pontos no gráfico e quer desenhar uma linha (ou curva) que passe o mais próximo possível de todos eles. O método dos mínimos quadrados faz isso calculando a distância (erro) de cada ponto até a curva e somando o quadrado desses erros. A ideia é ajustar os parâmetros da função (neste caso, e ) para que essa soma seja a menor possível. Assim, a curva escolhida será aquela que melhor representa os dados.

Passo 3

Vamos começar com a primeira função: . Para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função . A equação que vamos minimizar é:
Para encontrar os valores de e que minimizam , derivamos parcialmente essa soma em relação a e , igualamos a zero e resolvemos o sistema de equações resultante.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda função: . O procedimento é similar. A função prevista é , e a soma dos quadrados dos erros fica:
Mais uma vez, derivamos em relação a e , igualamos as derivadas a zero e resolvemos para encontrar os melhores valores de e .

Passo 5

A terceira função que vamos considerar é . A função prevista aqui é , então a soma dos quadrados dos erros será:
Novamente, aplicamos o método dos mínimos quadrados: derivar em relação a e , igualar a zero e resolver o sistema para encontrar os parâmetros que minimizam os erros.

Passo 6

Após calcular os valores de e para cada uma das três funções usando o método dos mínimos quadrados, comparamos as somas das diferenças ao quadrado ( ) de cada modelo. O modelo que tiver o menor valor de é o que melhor se ajusta aos dados fornecidos, já que representa a menor soma de erros quadráticos.

Resposta

Seguindo os passos acima, o modelo com a menor soma dos quadrados das diferenças é o que melhor se ajusta aos dados fornecidos.

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