Wada a funcãa f(x), calcule vos limetes indecados,
i) f(x)=|cdot x+1|x+1 definida em R--1
a) lim x pm 1^+ f(x)
b) lim x -1^- f(x)
c) lim x x 1^- f(x)
ii) f(x)=|3 x-2|2-3 x difinida sm R-23
a) lim x 2^+ f(x)
b) lim x 23^- f(x)
c) lim x 23 f(x)
iii) f(x)=x^2-5 x+4|x-1| definida em R-1
a) lim x 1^+ f(x)
b) lim x 1^- f(x)
c) lim x 1 f(x)
iv) f(x)=|3 x^2-5 x-2|x-2 definida em R-2
a) lim x 2^+ f(x)
b) lim x 2^- f(x)
o) lim x 2 f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver os limites indicados para as funções dadas. O conteúdo aqui envolve cálculo de limites, especialmente limites laterais e de funções com valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com valor absoluto e aplicar as propriedades dos limites.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro exercício:
i) f(x) = x + 1x + 1 = 1 definida em lim x -1^+ f(x) = 1
a)
Quando calculamos o limite pela direita de -1, ou seja, se aproxima de -1 por valores maiores que -1. Nesse caso, é positivo, então . Assim,
Portanto,

Passo 3

b) f(x) = -(x + 1)x + 1 = -1
Aqui, o lim x -1^- f(x) = -1 se aproxima de -1 pela esquerda, ou seja, valores menores que -1. Nesse caso, é negativo, então . Assim,
Portanto,

Passo 4

c) lim x -1^+ f(x) = 1
Para que o limite exista, os limites laterais devem ser iguais. Mas vimos que:
lim x -1^- f(x) = -1
lim x -1 f(x) não existe
Como 1 ≠ -1, o limite não existe.
ã

Passo 5

ii) |3x - 2| = 3x - 2 definida em f(x) = 3x - 22 - 3x = 3x - 2- (3x - 2) = -1
a) lim x 2^+ f(x) = -1
Nesse caso, vamos observar que quando se aproxima de 2 pela direita, é positivo, pois . Assim,
Portanto,

Passo 6

b) |3x - 2| = -(3x - 2) = 2 - 3x
Aqui, f(x) = 2 - 3x2 - 3x = 1 se aproxima de lim x 23^- f(x) = 1 pela esquerda. Note que se aproxima de zero a partir de valores negativos, pois . Portanto,
Portanto,

Passo 7

c) |3x - 2| = 3x - 2
Vamos verificar os limites laterais.
Pela direita de f(x) = 3x - 22 - 3x = -1 , lim x 23 f(x) não existe é positivo:
Pela esquerda de , já vimos que é 1. Como 1 ≠ -1,
ã

Passo 8

iii) x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) definida em f(x) = (x - 1)(x - 4)x - 1 = x - 4
a) lim x 1^+ f(x) = 1 - 4 = -3
Primeiro, fatoramos o numerador:
Para se aproximando de 1 pela direita, , então . Assim,
Portanto,

Passo 9

b) f(x) = (x - 1)(x - 4)-(x - 1) = -(x - 4) = 4 - x
Para lim x 1^- f(x) = 4 - 1 = 3 se aproximando de 1 pela esquerda, , então . Assim,
Portanto,

Passo 10

c) lim x 1^+ f(x) = -3
Os limites laterais são diferentes:
lim x 1^- f(x) = 3
lim x 1 f(x) não existe
Como -3 ≠ 3,
ã

Passo 11

iv) 3x^2 - 5x - 2 = (3x + 1)(x - 2) definida em |3x^2 - 5x - 2| = |(3x + 1)(x - 2)| = (3x + 1)(x - 2)
a) f(x) = (3x + 1)(x - 2)x - 2 = 3x + 1
Primeiro, fatoramos o polinômio dentro do valor absoluto:
lim x 2^+ f(x) = 3*2 + 1 = 7
Para se aproximando de 2 pela direita, , então:
Assim,
Portanto,

Passo 12

b) |3x^2 - 5x - 2| = |(3x + 1)(x - 2)| = -(3x + 1)(x - 2) = (3x + 1)(2 - x)
Para f(x) = (3x + 1)(2 - x)x - 2 = (3x + 1)(2 - x)-(2 - x) = -(3x + 1) se aproximando de 2 pela esquerda, lim x 2^- f(x) = -(3*2 + 1) = -7 , então:
Assim,
Portanto,

Passo 13

c) lim x 2^+ f(x) = 7
Os limites laterais são diferentes:
lim x 2^- f(x) = -7
lim x 2 f(x) não existe
Como 7 ≠ -7,
ã

Resposta

Os limites calculados são:
i)
a)
b)
c) não existe
ii)
a)
b)
c) não existe
iii)
a)
b)
c) não existe
iv)
a)
b)
c) não existe

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