Let be the covariance matrix of with general element . Partition into the covariance matrices of and and the covariance matrix of an element of and an element of .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão apresenta um vetor dividido em duas partes: com dois componentes ( e ) e com três componentes (, e ). O que a gente precisa fazer é dividir a matriz de covariância dessa em blocos que correspondem às covariâncias dentro de , dentro de e entre e . Para isso, vamos usar o conceito de matrizes de covariância e como elas podem ser organizadas em blocos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de covariância. A matriz de contém todas as variâncias e covariâncias entre os componentes de . Cada elemento representa a covariância entre e .
Passo 3
Agora, como a está dividida em e , vamos organizar em blocos. Imagine uma matriz grande dividida em quatro partes:
O bloco superior esquerdo será a matriz de covariância de , ou seja, as covariâncias entre e .
O bloco inferior direito será a matriz de covariância de , que inclui as covariâncias entre , e .
Os blocos superior direito e inferior esquerdo serão as matrizes de covariância entre e .
Passo 4
Vamos denotar:
como a matriz de covariância de
como a matriz de covariância de
e como as matrizes de covariância entre e
Passo 5
A matriz então fica organizada assim:
Passo 6
Vamos detalhar cada bloco:
é uma matriz com as variâncias de e na diagonal e a covariância entre eles fora da diagonal:
é uma matriz com as variâncias de , e na diagonal e as covariâncias entre eles fora da diagonal:
Passo 7
As matrizes e representam as covariâncias entre cada componente de e cada componente de . Como é a transposta de , podemos focar em definir apenas :
E então,
Passo 8
Com tudo isso organizado, a matriz de covariância completa fica: