where
Let be the covariance matrix of with general element . Partition into the covariance matrices of and and the covariance matrix of an element of and an element of .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão apresenta um vetor dividido em duas partes: com dois componentes ( e ) e com três componentes ( , e ). O que a gente precisa fazer é dividir a matriz de covariância dessa em blocos que correspondem às covariâncias dentro de , dentro de e entre e . Para isso, vamos usar o conceito de matrizes de covariância e como elas podem ser organizadas em blocos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de covariância. A matriz de contém todas as variâncias e covariâncias entre os componentes de . Cada elemento representa a covariância entre e .

Passo 3

Agora, como a está dividida em e , vamos organizar em blocos. Imagine uma matriz grande dividida em quatro partes:
  1. O bloco superior esquerdo será a matriz de covariância de , ou seja, as covariâncias entre e .
  2. O bloco inferior direito será a matriz de covariância de , que inclui as covariâncias entre , e .
  3. Os blocos superior direito e inferior esquerdo serão as matrizes de covariância entre e .

Passo 4

Vamos denotar:
  • como a matriz de covariância de
  • como a matriz de covariância de
  • e como as matrizes de covariância entre e

Passo 5

A matriz então fica organizada assim:

Passo 6

Vamos detalhar cada bloco:
  • é uma matriz com as variâncias de e na diagonal e a covariância entre eles fora da diagonal:
  • é uma matriz com as variâncias de , e na diagonal e as covariâncias entre eles fora da diagonal:

Passo 7

As matrizes e representam as covariâncias entre cada componente de e cada componente de . Como é a transposta de , podemos focar em definir apenas :
E então,

Passo 8

Com tudo isso organizado, a matriz de covariância completa fica:
E já está dividida nos blocos que queríamos!

Resposta

A matriz de covariância dividida em blocos é:
Onde:

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Partition as
Let
and consider the linear combinations and . Find
(d)