(a) Se x(t) e y(t) forem ortogonais, mostre que a energia do sinal x(t)+y(t) é igual à energia do sinal x(t)-y(t) e dada por Ex+Ey
(b) Se x(t) e y(t) forem ortogonais, determine as energias dos sinais c1 x(t)+c2 y(t) e c1 x(t)-c2 y(t).
© A energia cruzada de dois sinais de energia x(t) e y(t), Ex y, é definida como
Ex y=integral-infty^infty x(t) y^*(t) d t
Se z(t)=x(t)=y(t), mostra que
Ez=Ex+Ey pm(Ex y+Ey x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você pediu. Temos três partes no exercício sobre sinais ortogonais e suas energias. Vamos precisar entender o que significa sinais serem ortogonais, como calcular a energia de um sinal e como essas propriedades se relacionam. Vamos resolver cada parte passo a passo para chegar às respostas finais.

Passo 2

Parte (a): Se Es = integral-infty^infty |s(t)|^2 dt e integral-infty^infty x(t) y(t) dt = 0 forem ortogonais, precisamos mostrar que a energia do sinal é igual à energia do sinal e que ambas são dadas por .
Primeiro, vamos lembrar que a energia de um sinal é dada por:
E dois sinais são ortogonais se o produto interno deles for zero:

Passo 3

Vamos calcular a energia de Ex+y = integral-infty^infty |x(t) + y(t)|^2 dt :
|x(t) + y(t)|^2 = x(t)^2 + 2x(t)y(t) + y(t)^2
Expandindo o quadrado:
Ex+y = integral-infty^infty x(t)^2 dt + 2integral-infty^infty x(t)y(t) dt + integral-infty^infty y(t)^2 dt
Então:

Passo 4

Como Ex+y = integral-infty^infty x(t)^2 dt + integral-infty^infty y(t)^2 dt = Ex + Ey e são ortogonais, o termo cruzado é zero. Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia de Ex-y = integral-infty^infty |x(t) - y(t)|^2 dt :
|x(t) - y(t)|^2 = x(t)^2 - 2x(t)y(t) + y(t)^2
Expandindo o quadrado:
Ex-y = integral-infty^infty x(t)^2 dt - 2integral-infty^infty x(t)y(t) dt + integral-infty^infty y(t)^2 dt
Então:

Passo 6

Novamente, como Ex-y = integral-infty^infty x(t)^2 dt + integral-infty^infty y(t)^2 dt = Ex + Ey e são ortogonais, o termo cruzado é zero. Assim:

Passo 7

Resposta da parte (a): A energia dos sinais e é igual a .

Passo 8

Parte (b): Se E = a^2 Ex + b^2 Ey e forem ortogonais, vamos determinar as energias dos sinais e .
Primeiro, vamos usar a propriedade da energia de sinais lineares. A energia de um sinal , onde e são ortogonais, é:
Isso porque os termos cruzados desaparecem devido à ortogonalidade.

Passo 9

Portanto, para Ec1 x + c2 y = c1^2 Ex + c2^2 Ey :
Ec1 x - c2 y = c1^2 Ex + c2^2 Ey
E para :
Note que o sinal negativo no segundo termo não afeta a energia, já que ele é elevado ao quadrado.

Passo 10

Resposta da parte (b): As energias dos sinais são tanto para quanto para .

Passo 11

Parte ©: A energia cruzada de dois sinais de energia Exy = integral-infty^infty x(t) y^*(t) dt e Ez = Ex + Ey pm ( Exy + Eyx ) é definida por:
Se , vamos mostrar que:
Primeiro, vamos interpretar . Isso significa que estamos considerando como sendo igual a ambos e .

Passo 12

Vamos calcular a energia de Ez = integral-infty^infty |z(t)|^2 dt = integral-infty^infty z(t) z^*(t) dt :
Ez = integral-infty^infty x(t) x^*(t) dt = integral-infty^infty y(t) y^*(t) dt = Ex = Ey
Como , podemos substituir:
No entanto, parece que há uma interpretação adicional necessária aqui, possivelmente considerando combinações de e .

Passo 13

Considerando Ez = integral-infty^infty z(t) z^*(t) dt ou Ez = integral (x(t) pm y(t))(x^*(t) pm y^*(t)) dt = integral |x(t)|^2 dt + |y(t)|^2 pm integral x(t) y^*(t) dt pm integral y(t) x^*(t) dt , vamos calcular a energia:
Ez = Ex + Ey pm (Exy + Eyx)
Expandindo:
Ou seja:

Passo 14

Resposta da parte ©: A energia de é .

Resposta

(a) As energias dos sinais e são iguais a .
(b) As energias dos sinais e são .
© A energia de é .

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