(3 x^2 y + 8 x y^2) dx + (x^3 + 8 x^2 y + 12 y^2) dy = 0, y(2) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma equação diferencial do tipo exata. O enunciado que temos é:
Para resolver isso, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função potencial que satisfaz a equação. Vamos precisar de cálculo diferencial e entendimento sobre equações diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e da equação:
Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 4

Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
Como a equação é igual a zero, temos:
Ou seja:

Passo 7

Para encontrar a solução particular que passa pelo ponto , substituímos e na equação:

Passo 8

Finalmente, a solução da equação diferencial é:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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