Passo 1
Beleza, vamos resolver uma equação diferencial do tipo exata. O enunciado que temos é:
Para resolver isso, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função potencial que satisfaz a equação. Vamos precisar de cálculo diferencial e entendimento sobre equações diferenciais exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
da equação:
Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Portanto, a função potencial
é:
Como a equação é igual a zero, temos:
Ou seja:
Passo 7
Para encontrar a solução particular que passa pelo ponto
, substituímos
e
na equação:
Passo 8
Finalmente, a solução da equação diferencial é:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.