Se
e
possuem função densidade conjunta
calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que têm uma função densidade conjunta dada por:
O que a gente precisa calcular é o valor esperado de $ XY $, ou seja, $ \mathbf{E}[XY] $. Para isso, vamos usar conceitos de função densidade conjunta e valor esperado. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado de $ XY $, $ \mathbf{E}[XY] $, pode ser calculado usando a integral dupla da função $ xy $ multiplicada pela função densidade conjunta $ f(x, y) $. A fórmula fica assim:
Aqui, estamos integrando sobre toda a região onde $ 0 < x < y < 1 $.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que $ \frac{1}{y} $ está multiplicando $ xy $:
Então, a integral fica mais simples:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ x $:
Substituindo de volta na integral principal:
Passo 5
Vamos resolver a integral restante em relação a $ y $:
Resposta
O valor esperado $ \mathbf{E}[XY] $ é $ \frac{1}{6} $.