Se
e
possuem função densidade conjunta
calcule:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias contínuas, $ X $ e $ Y $, com uma função densidade conjunta dada por:
O objetivo é calcular o valor esperado de $ Y $, denotado por $ \mathbf{E}[Y] $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções densidade conjunta e marginais, além de integrar para encontrar o valor esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o valor esperado. O valor esperado de uma variável aleatória contínua $ Y $ é a média ponderada de todos os possíveis valores que $ Y $ pode assumir, ponderada pela sua função densidade de probabilidade. Matematicamente, é dado por:
onde $ f_Y(y) $ é a função densidade marginal de $ Y $.
Passo 3
Como temos uma função densidade conjunta, precisamos primeiro encontrar a função densidade marginal de $ Y $, que é obtida integrando $ f(x, y) $ em relação a $ X $ sobre todo o intervalo possível de $ X $. Ou seja:
No nosso caso, os limites de integração para $ X $ são de $ 0 $ a $ y $, já que $ 0 < x < y $.
Passo 4
Vamos calcular a densidade marginal de $ Y $:
Integrando:
Portanto, a função densidade marginal de $ Y $ é constante e igual a 1 no intervalo $ 0 < y < 1 $.
Passo 5
Agora que temos $ f_Y(y) = 1 $ para $ 0 < y < 1 $, podemos calcular o valor esperado de $ Y $:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Resposta
O valor esperado de $ Y $ é $ \mathbf{E}[Y] = \frac{1}{2} $.