Se X e Y possuem função densidade conjunta
f(x, y)=1y, 0
calcule:
E[Y]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias contínuas, $ X $ e $ Y $, com uma função densidade conjunta dada por:
X
O objetivo é calcular o valor esperado de $ Y $, denotado por $ \mathbf{E}[Y] $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções densidade conjunta e marginais, além de integrar para encontrar o valor esperado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o valor esperado. O valor esperado de uma variável aleatória contínua $ Y $ é a média ponderada de todos os possíveis valores que $ Y $ pode assumir, ponderada pela sua função densidade de probabilidade. Matematicamente, é dado por:
Y
onde $ f_Y(y) $ é a função densidade marginal de $ Y $.

Passo 3

Como temos uma função densidade conjunta, precisamos primeiro encontrar a função densidade marginal de $ Y $, que é obtida integrando $ f(x, y) $ em relação a $ X $ sobre todo o intervalo possível de $ X $. Ou seja:
Y
No nosso caso, os limites de integração para $ X $ são de $ 0 $ a $ y $, já que $ 0 < x < y $.

Passo 4

Vamos calcular a densidade marginal de $ Y $:
Y
Integrando:
fY(y) = integral0^y 1y , dx
Portanto, a função densidade marginal de $ Y $ é constante e igual a 1 no intervalo $ 0 < y < 1 $.

Passo 5

Agora que temos $ f_Y(y) = 1 $ para $ 0 < y < 1 $, podemos calcular o valor esperado de $ Y $:
fY(y) = 1

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral0^1 y , dy = [ y^22 ]0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 - 0 = 12

Resposta

O valor esperado de $ Y $ é $ \mathbf{E}[Y] = \frac{1}{2} $.

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