Encontre a solução geral da equação diferencial linear dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quanto
(40 pontos)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e, depois, analisar como essa solução se comporta quando
tende para mais infinito. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão:
Onde:
O fator integrante,
, é dado por:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integra��ão.
Passo 5
Agora, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 6
Para analisar o comportamento das soluções quando
, observamos cada termo da solução:
-
O termo
é constante, não depende de . -
O termo
tende a zero, porque diminui muito rapidamente à medida que aumenta.
Portanto, quando
, a solução
tende para
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
E, para
, a solução tende a
.
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