Encontre a solução geral da equação diferencial linear dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quanto (40 pontos)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e, depois, analisar como essa solução se comporta quando tende para mais infinito. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão:
Onde:
O fator integrante, , é dado por:

Passo 3

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
onde é a constante de integra��ão.

Passo 5

Agora, resolvemos para dividindo ambos os lados por :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 6

Para analisar o comportamento das soluções quando , observamos cada termo da solução:
  • O termo é constante, não depende de .
  • O termo tende a zero, porque diminui muito rapidamente à medida que aumenta.
Portanto, quando , a solução tende para .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
E, para , a solução tende a .

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