Se , encontre o valor de no ponto onde .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem a equação e precisa encontrar a derivada quando . Isso envolve conceitos de derivadas implícitas, que é quando a gente tem uma relação entre e e precisa derivar ambos os lados em relação a para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando a gente tem dependendo de , a derivada de em relação a é .
Então, aplicando a derivada:

Passo 3

Vamos derivar cada termo separado. Para o primeiro termo, , usamos a regra do produto:
Para o segundo termo, , usamos a regra da cadeia:
E a derivada de uma constante é zero:

Passo 4

Agora, juntando tudo, temos:
Nosso objetivo é isolar . Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 5

Fatorando dos termos à esquerda:
Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Precisamos encontrar quando . Para isso, vamos substituir na equação original para achar .
Substituindo na equação :
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:

Resposta

Quando , o valor de é .

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