Se
, encontre o valor de
no ponto onde
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem a equação
e precisa encontrar a derivada
quando
. Isso envolve conceitos de derivadas implícitas, que é quando a gente tem uma relação entre
e
e precisa derivar ambos os lados em relação a
para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembre-se que quando a gente tem
dependendo de
, a derivada de
em relação a
é
.
Então, aplicando a derivada:
Passo 3
Vamos derivar cada termo separado. Para o primeiro termo,
, usamos a regra do produto:
Para o segundo termo,
, usamos a regra da cadeia:
E a derivada de uma constante
é zero:
Passo 4
Agora, juntando tudo, temos:
Nosso objetivo é isolar
. Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 5
Fatorando
dos termos à esquerda:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Precisamos encontrar
quando
. Para isso, vamos substituir
na equação original para achar
.
Substituindo
na equação
:
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Resposta
Quando
, o valor de
é
.
Exercícios relacionados
Encontre
:
Encontre
: