Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício apresenta a função . A matéria que vamos usar para resolver isso envolve funções exponenciais e cálculo de derivadas para achar máximos ou mínimos. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções exponenciais e encontrar onde a derivada é zero para identificar pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . Essa é uma função exponencial onde a base é 10 e o expoente é . As funções exponenciais crescem ou decrescem dependendo do sinal do expoente.

Passo 3

Para encontrar o ponto máximo dessa função, a gente precisa calcular a derivada de em relação a e ver onde essa derivada é igual a zero. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função.
A derivada de é:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar funções exponenciais.

Passo 4

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Sabemos que e nunca são zero, então a única coisa que pode zero é . Assim:

Passo 5

Encontramos que é o ponto crítico. Para confirmar que é um ponto de máximo, podemos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da função. Vendo que para diferente de zero, diminui (já que o expoente fica menor), confirmamos que é um ponto de máximo.

Resposta

O valor máximo da função ocorre em e o valor máximo é .

Exercícios relacionados

Resolva .
Calcule a expressão e simplifique para .
Se , achar:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Se , determine:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .