Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício apresenta a função
. A matéria que vamos usar para resolver isso envolve funções exponenciais e cálculo de derivadas para achar máximos ou mínimos. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções exponenciais e encontrar onde a derivada é zero para identificar pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. Essa é uma função exponencial onde a base é 10 e o expoente é
. As funções exponenciais crescem ou decrescem dependendo do sinal do expoente.
Passo 3
Para encontrar o ponto máximo dessa função, a gente precisa calcular a derivada de
em relação a
e ver onde essa derivada é igual a zero. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função.
A derivada de
é:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar funções exponenciais.
Passo 4
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Sabemos que
e
nunca são zero, então a única coisa que pode zero é
. Assim:
Passo 5
Encontramos que
é o ponto crítico. Para confirmar que é um ponto de máximo, podemos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da função. Vendo que para
diferente de zero,
diminui (já que o expoente
fica menor), confirmamos que
é um ponto de máximo.
Resposta
O valor máximo da função
ocorre em
e o valor máximo é
.
Exercícios relacionados
Resolva
.
Calcule a expressão e simplifique
para
.
Se
, achar:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Se
, determine:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)