.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que você me passou é a função
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente derivadas de funções compostas. Para resolver isso, a gente vai precisar aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos funções dentro de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função
. A função
é o cosseno hiperbólico, mas nesse caso, como está escrito
, na verdade é a cosecante que é o inverso do seno, ou seja,
. Mas para derivar, a gente pode usar a regra direta da derivada da
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as partes da nossa função composta. Temos uma função externa
, onde
. Para aplicar a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
será a derivada da função externa em relação a
multiplicada pela derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função externa
. Sabemos que:
Então, essa será a primeira parte da nossa derivada.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Podemos reescrever
como
. Usando a regra da potência:
Passo 6
Agora, aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
Substituindo
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: