f(t) = ((t^2 - 1) / (t^2 + 1))^(3/2).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O enunciado nos apresenta uma função:
Nosso objetivo provavelmente é encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a derivação de funções racionais. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual técnica de derivação vamos usar. A função está na forma de uma função composta, onde temos uma função interna:
e uma função externa que eleva à potência de :
Nesse caso, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos começar derivando a função externa. Se , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna :
Para derivar essa fração, vamos usar a regra do quociente, que diz que:
onde e .
Primeiro, calculemos as derivadas de e :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão de :
Distribuindo o em ambos os termos do numerador:
Agora, combinando termos semelhantes:

Passo 6

Agora que temos e , podemos aplicar a regra da cadeia para encontrar :
Substituindo as expressões que encontramos:
Lembrando que , então:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão final:
Multiplicando os coeficientes:
E combinando as frações:
Podemos reescrever a raiz como potência de :

Resposta

A derivada de é:

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y = x * sen(1/x).
y = tan(sen(1 - 3 x^2))
y = sen(cos x).
y = csc(raiz(x^2 - 1)).