.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O enunciado nos apresenta uma função:
Nosso objetivo provavelmente é encontrar a derivada dessa função, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a derivação de funções racionais. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual técnica de derivação vamos usar. A função
está na forma de uma função composta, onde temos uma função interna:
e uma função externa que eleva
à potência de
:
Nesse caso, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Vamos começar derivando a função externa. Se
, então a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos derivar a função interna
:
Para derivar essa fração, vamos usar a regra do quociente, que diz que:
onde
e
.
Primeiro, calculemos as derivadas de
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão de
:
Distribuindo o
em ambos os termos do numerador:
Agora, combinando termos semelhantes:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos aplicar a regra da cadeia para encontrar
:
Substituindo as expressões que encontramos:
Lembrando que
, então:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão final:
Multiplicando os coeficientes:
E combinando as frações:
Podemos reescrever a raiz como potência de
:
Resposta
A derivada de
é: