Modele e resolva os problemas abaixo.
A velocidade angular de uma polia é . Quantas voltas dará antes de parar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para descobrir quantas voltas uma polia vai dar antes de parar, sabendo que a velocidade angular dela muda com o tempo de acordo com a fórmula rad/s. Vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como velocidade angular, aceleração angular e deslocamento angular. Basicamente, vamos calcular o tempo que a polia leva para parar e, com isso, quantificar quantas voltas ela dá nesse período.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando a polia para. A polia para quando sua velocidade angular chega a zero.
Temos a equação da velocidade angular:
Para achar o tempo em que , resolvemos:

Passo 3

Agora que sabemos que a polia para aos 8 segundos, vamos calcular quanto ela gira nesse tempo. Para isso, precisamos achar o deslocamento angular total durante esses 8 segundos.
Sabemos que a velocidade angular está diminuindo de forma linear, então temos uma aceleração angular constante. A aceleração angular pode ser encontrada derivando a velocidade angular em relação ao tempo:
Como a aceleração é constante, podemos usar a fórmula do deslocamento angular:
Onde:
  • (velocidade inicial)
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, para descobrir quantas voltas a polia dá, precisamos converter os radianos em voltas completas. Sabemos que uma volta completa corresponde a radianos.
Então, o número de voltas é:
Arredondando, a polia dá aproximadamente 51 voltas antes de parar.

Resposta

A polia dá aproximadamente 51 voltas antes de parar.

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