y'' + 2y' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui: precisamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais y(0) = 1 e . O conteúdo que vamos usar é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois ajustar os constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, , , e , então a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica que é um polinômio quadrático:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Neste caso, é fácil fatorar:
Então, temos uma raiz dupla: .

Passo 4

Como a equação característica tem uma raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é da forma:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial: y(0) = 1. Substituindo na solução geral:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial: . Primeiro, precisamos derivar a solução geral:
Agora, substituímos :

Resposta

Finalmente, substituindo e na solução geral, temos:

Exercícios relacionados