Passo 1
Vamos resumir o que a gente tem aqui: precisamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois ajustar os constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é
. No nosso caso,
,
, e
, então a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica que é um polinômio quadrático:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Neste caso, é fácil fatorar:
Então, temos uma raiz dupla:
.
Passo 4
Como a equação característica tem uma raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é da forma:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial:
. Substituindo
na solução geral:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial:
. Primeiro, precisamos derivar a solução geral:
Agora, substituímos
:
Resposta
Finalmente, substituindo
e
na solução geral, temos: