Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui: precisamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois ajustar os constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, , , e , então a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica que é um polinômio quadrático:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Neste caso, é fácil fatorar:
Então, temos uma raiz dupla: .

Passo 4

Como a equação característica tem uma raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é da forma:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial: . Substituindo na solução geral:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial: . Primeiro, precisamos derivar a solução geral:
Agora, substituímos :

Resposta

Finalmente, substituindo e na solução geral, temos:

Exercícios relacionados

Um tanque estava inicialmente com 10 litros de água. A torneira desse tanque foi aberta enchendo de água na razão de 5 litros por segundo.
c) Em dado momento tinha 370 litros de água no tanque, após quantos segundos isso correu?
Um tanque estava inicialmente com 10 litros de água. A torneira desse tanque foi aberta enchendo de água na razão de 5 litros por segundo.
b) Quantos litros terão no tanque após 125 s?
Uma prestadora de serviços cobra pela visita à residência do cliente e pelo tempo necessário para realizar o serviço na residência. O valor da visita é R $ 45 e o valor da hora para realização do serviço é $ 25. Responda:
a) Escreva uma expressão que indica o valor a ser pago ( P ) em função das horas ( h ) necessárias para prestação de serviço.
Calcule.