Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea
e uma solução particular da equação completa
. Juntando essas duas, teremos a solução completa da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea
. Para isso, usamos a equação característica, que é uma maneira de encontrar soluções para equações diferenciais lineares homogêneas. A equação característica para
é:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos usar o método de coeficientes a determinar. Primeiro, precisamos assumir uma forma para
. Sabemos que
pode ser escrita como
, mas tentar uma solução desse tipo pode complicar. Em vez disso, vamos usar a variação de parâmetros, que é mais adequada para funções como
.
Passo 4
Para usar a variação de parâmetros, precisamos das soluções da equação homogênea, que já encontramos:
A fórmula para a solução particular é:
onde
é o Wronskiano das soluções
e
.
Passo 5
Calculamos o Wronskiano
:
Com
, a fórmula simplifica para:
Passo 6
Simplificamos as integrais:
assim,
e
portanto,
Passo 7
Substituímos de volta na expressão de
:
Simplificando:
Os termos
se cancelam, restando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Suponha que
, seja solução do sistema
Calcule a derivada da função dada por
. O que se pode concluir a respeito da distância do ponto
, à origem? Interprete.
Encontre os pontos críticos da função:
(e)
(e)