Resolva as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa . Juntando essas duas, teremos a solução completa da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea . Para isso, usamos a equação característica, que é uma maneira de encontrar soluções para equações diferenciais lineares homogêneas. A equação característica para é:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos usar o método de coeficientes a determinar. Primeiro, precisamos assumir uma forma para . Sabemos que pode ser escrita como , mas tentar uma solução desse tipo pode complicar. Em vez disso, vamos usar a variação de parâmetros, que é mais adequada para funções como .

Passo 4

Para usar a variação de parâmetros, precisamos das soluções da equação homogênea, que já encontramos:
A fórmula para a solução particular é:
onde é o Wronskiano das soluções e .

Passo 5

Calculamos o Wronskiano :
Com , a fórmula simplifica para:

Passo 6

Simplificamos as integrais:
assim,
e
portanto,

Passo 7

Substituímos de volta na expressão de :
Simplificando:
Os termos se cancelam, restando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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(e)
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