Derive:
q)

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função . Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo de derivadas, mais especificamente a derivada de funções exponenciais com expoentes que são funções de . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a diferenciação logarítmica, já que a função tem a forma , onde tanto a base quanto o expoente dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação para facilitar a diferenciação:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Para diferenciar o lado direito, aplicamos a regra do produto já que temos o produto de e :

Passo 6

Calculamos as derivadas individuais:

Passo 7

Substituímos essas derivadas na expressão anterior:

Passo 8

Agora, temos:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Resposta

A derivada da função é:

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Derive:
j)
Derive:
e)
Derive:
v)
a) .